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Interpretation des Phasengangs eines Systems und linearer Phasengang

Vergleich von Tiefpassfiltern mit linearer und nichtlinearer Phase

Die Diskussion der Beispiele im letzten Abschnitt zeigt, dass Systeme mit linearem Phasengang Eingangssignale zwar verzögern, jedoch nicht in ihrer Form verzerren. Im Folgenden wird analysiert, welcher Unterschied zwischen zwei Tiefpass-Filtern besteht, die eine lineare beziehungsweise eine nichtlineare Phase besitzen. Das Filter mit linearer Phase wird als FIR-Filter realisiert, das Filter mit nichtlinearer Phase als IIR-Filter. Beide Filter werden so entworfen, dass sie bei einer Frequenz von Ω = π/5 eine Dämpfung von maximal 1 dB aufweisen und bei einer Frequenz von Ω = 1.1⋅π/5 eine Dämpfung von mindestens 80 dB besitzen. Die Forderung führt bewusst zu Filtern hoher Ordnung, an denen die Unterschiede zwischen linearem und nichtlinearem Phasengang deutlich zu erkennen sind. Amplituden- und Phasengang der beiden Filter sind in Bild 8.23 dargestellt.

Bild 8.23: Frequenzgangskennlinien des FIR und IIR-Filters

Die Amplitudengänge sind im Durchlassbereich bis Ω = π/5 praktisch identisch und weisen im Sperrbereich eine Dämpfung von mehr als 80 dB auf. Die Phasengänge weichen stark voneinander ab. Das FIR-Filter hat einen linearen Phasenverlauf, dem an den Nullstellen des Amplitudengangs zusätzlich Phasensprünge überlagert sind. Im Gegensatz dazu hat das IIR-Filter einen nichtlinearen Phasenverlauf, dem ebenfalls Phasensprünge überlagert sind. Auch die Absolutwerte der Phase sind stark unterschiedlich.

Zunächst wird analysiert, wie zwei Wellenpakete mit unterschiedlicher Frequenz Ω1 = π/10 und Ω2 = π/5 das Filter durchlaufen. Bild 8.24 zeigt die Systemreaktion der Tiefpass-Filter auf die Anregung.

Bild 8.24: Reaktion von FIR-Filter mit linearer Phase und IIR-Filter mit nichtlinearer Phase auf die Anregung mit zwei Wellenpakten unterschiedlicher Frequenz

Die beiden Wellenpakete werden mit einem Zeitabstand von 100 Abtastzeiten gesendet. Bei dem System mit linearer Phase bleibt der Abstand der Wellenpakete konstant und die Wellenpakete bleiben in ihrer Länge weitgehend erhalten. Die Verzögerung der Wellenpakete entspricht der Gruppenlaufzeit. Sie ist wegen der linearen Phase unabhängig von der Frequenz und ergibt sich aus der Filterordnung. In diesem Beispiel beträgt die Filterordnung K = 251 und die Verzögerung ist

(8.109)

Die geringe Signalverzerrung wird durch eine große Gruppenlaufzeit erkauft, die gleichbedeutend mit einer großen Phase ist. Bei dem System mit nichtlinearer Phase ist insbesondere das zweite Wellenpaket verzerrt. Deshalb ändert sich der Abstand der beiden Zentren auf 150 Abtastzeiten. Außerdem hat das zweite Wellenpaket bei Durchlaufen des Filters seine Länge praktisch verdoppelt. Ursache für das Verhalten ist der in Bild 8.23 gezeigte Phasengang, der für unterschiedliche Frequenzen zu unterschiedlichen Gruppenlaufzeiten führt. Bei einem Betrieb des Filters unterhalb der Grenzfrequenz ergeben sich konstante Gruppenlaufzeiten und geringe Verzerrungen. Je näher die Signalfrequenzen der Grenzfrequenz kommen, desto größer werden Verzerrungen und Verzögerungen.

Bild 8.25 zeigt die Systemreaktion des FIR- und IIR-Filters auf die Anregung mit Rechteckfolgen.

Bild 8.25: Reaktion von FIR-Filter mit linearer Phase und IIR-Filter mit nichtlinearer Phase auf die Anregung mit Rechteckfolgen

Deutlich zu erkennen sind die größere Gruppenlaufzeit und die geringeren Verzerrungen des FIR-Filters mit linearer Phase. Das IIR-Filter mit nichtlinearer Phase besitzt eine kürzere Gruppenlaufzeit, aber das Ausgangssignal ist stärker verzerrt. Da sich ein Signal im allgemeinen Fall aus vielen Spektralanteilen zusammensetzt, ist für die verzerrungsarme Übertragung ein Filter mit linearer Phase im Durchlassbereich notwendig.

Aus diesen Überlegungen ergeben sich zwei Forderungen an zeitdiskrete Filter. Sie müssen eine minimale Verzögerung besitzen und im Durchlassbereich einen zumindest näherungsweise linearen Phasengang aufweisen.