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Grundlagen der z-Transformation

Zusammenhang zwischen z-Transformation und Laplace-Transformation

Mithilfe der Laplace-Transformation lassen sich einige Signaleigenschaften bestimmen. Um an diese Interpretationsmöglichkeiten anzuknüpfen, wird ein Zusammenhang zwischen der s-Ebene der Laplace-Transformation und der z-Ebene der z-Transformation hergestellt. Bei der Herleitung der z-Transformation wird die Substitution

(5.30)

verwendet. Mit dieser Substitution wird die komplexe s-Ebene in die komplexe z-Ebene abgebildet. Bild 5.2 zeigt die beiden Ebenen.

Bild 5.2: Darstellung von Bereichen in der s-Ebene und deren transformierten Flächen in der z-Ebene

Die imaginäre Achse der s-Ebene s = j⋅ω wird abgebildet in die Variable

(5.31)

Das entspricht dem Einheitskreis, der für - ∞ < ω < ∞ periodisch in 2⋅π durchlaufen wird. Die imaginäre Achse der s-Ebene wird demnach auf den Einheitskreis der z-Ebene abgebildet. Bei der Abtastung von Signalen entsteht ein Spektrum, das periodisch in ωA ist. Das Basisband reicht dabei von - ωA/2 bis + ωA/2, so dass der Einheitskreis genau einmal durchlaufen wird. Alle periodischen Wiederholungen des Spektrums werden mit der z-Transformation auf dem Einheitskreis übereinander abgebildet. Deshalb eignet sich die z-Transformation besonders für die Beschreibung abgetasteter Signale.

Eine Linie der s-Ebene mit konstantem Realteil δ0 wird auf einen Kreis abgebildet, der einen Radius

(5.32)

aufweist. Mit negativem Realteil ergibt sich eine Lage innerhalb des Einheitskreises, mit positivem Realteil eine Lage um den Einheitskreis herum. Daraus folgt, dass die gesamte linke s-Halbebene in den Einheitskreis abgebildet wird, während die rechte s-Halbebene um den Einheitskreis herum abgebildet wird. Tabelle 5.1 fasst korrespondierende Elemente der s- und z-Ebene zusammen.

Tabelle 5.1: Tabellarische Übersicht über korrespondierende Elemente der s- und z-Ebene
s-Ebene z-Ebene
imaginäre Achse Einheitskreis
linke komplexe Ebene Inneres des Einheitskreises
rechte komplexe Ebene Äußeres des Einheitskreises
Ursprung s = 0 z = 1
halbe Abtastfrequenz j⋅ω = j⋅ω A /2 ± j⋅k⋅ω A z = -1

Der Zusammenhang zwischen s- und z-Ebene wird bei der Diskussion der Signal- und Systemeigenschaften in den folgenden Abschnitten wieder aufgegriffen.