Regression zweidimensionaler Datensätze

Eines der zentralen Ziele von Design For Six Sigma besteht darin, Ursachen-Wirkungs-Beziehungen zu ermitteln, um Produkte und Prozesse bestmöglich zu verstehen. Zur Beschreibung des Zusammenhangs von Eingangs-, Stör- und Zielgrößen werden unterschiedliche Methoden angewendet:

• Analytische Berechnung
  Auf Basis eines Systemmodells werden die Zielgrößen als Funktion der Eingangsgrößen berechnet. Notwendig ist ein physikalisches Verhaltensmodell, das das Systemverhalten mit einer ausreichenden Präzision beschreibt.


• Simulation
  Eine Simulation wird durchgeführt, wenn das Modell zwar grundsätzlich bekannt ist, die analytische Berechnung aber aufgrund der komplexen Geometrie oder den Randbedingungen unübersichtlich und aufwendig wird.


• Experiment
  Mit Experimenten werden die Simulationen und Berechnungen bestätigt. Mit dem Hintergrundwissen zum Modellverhalten, das aus der analytischen Rechnung und der Simulation kommt, kann der experimentelle Aufwand klein gehalten werden.

Der Zusammenhang zwischen den unterschiedlichen Methoden zur Modellierung eines Systems ist in Bild 11.1 zusammenfassend dargestellt.

Bild 11.1: Gegenüberstellung von analytischer Berechnung, numerischer Simulation und Experiment

Insbesondere die Simulation, aber auch die analytische Berechnung erfordern ein Modell des abzubildenden Systems oder Prozesses. Es werden mathematische und physikalische Modelle unterschieden, beide werden in Bild 11.2 gegenübergestellt.

Bild 11.2: Vergleich von physikalischen und mathematischen Systemmodellen

Während in der klassischen Modellbildung das physikalische Modell analytisch hergeleitet wird, wird im Rahmen der mathematischen Modellbildung das zu untersuchende System als Black-Box betrachtet. Dieser Ansatz führt zu einem Modell, bei dem das Zusammenwirken der Eingagsgrößen und Ausgangs oder Zielgrößen mathematisch über sogenannte Regressionsfunktionen beschrieben wird.

In diesem Kapitel werden zunächst Regressionsfunktionen für zweidimensionale Datensätze berechnet und ihr Konfidenzbereich ermittelt. Dabei werden lineare und nichtlineare Regressionen betrachtet. In Kapitel 12 wird das Vorgehen auf M-dimensionale Datensätze verallgemeinert.