Univariate Wahrscheinlichkeitstheorie
Prüf- oder Testverteilungen
Viele statistische Aufgabenstellungen lassen sich mithilfe der Normalverteilung beschreiben. Oftmals müssen ihre Parameter μ und σ auf Basis von Stichproben geschätzt werden. Auf die Schätzung von Parametern wird in Kapitel 5 eingegangen. Die im Folgenden beschriebenen univariaten Prüf- oder Testverteilungen werden dazu genutzt, Aussagen zu Vertrauensbereichen der Parameter zu machen, die für die Verteilung auf Basis von Stichproben bestimmt wurden. Zu den univariaten Testverteilungen zählen die t-Verteilung von Student, die Chi-Quadrat-Verteilung und die F-Verteilung von Fisher.
Grundlage für die Berechnung von Parametern und ihren Vertrauensbereichen ist eine aus der Grundgesamtheit entnommene Stichprobe mit N unabhängigen Werten x1, x2, …, xN. Die Auswahl der Stichprobe ist dabei zufällig, ihre Werte xn werden bei identischer Grundgesamtheit von Mal zu Mal variieren. Jeder Stichprobenwert xn kann deshalb als eine Realisierung der Zufallsvariablen x aufgefasst werden. Prüf- und Testverteilung sind damit Funktionen von N unabhängigen Zufallsvariablen. Ihre Herleitungen sind deshalb eigentlich Bestandteil der multivariaten Statistik. Da sie zum Lösen eindimensionaler Fragestellungen der folgenden Kapitel erforderlich sind, werden sie an dieser Stelle ohne Herleitung eingeführt. Die mathematischen Herleitungen sind im Anhang A.1 dargestellt, Voraussetzung für das Verständnis dieser Herleitungen ist das Wissen zu multivariaten Wahrscheinlichkeitsverteilungen aus Kapitel 7 und Kapitel 8.
