Dem Kunden einer Bank werden zur Geldanlage zwei mögliche Anlagestrategien angeboten. Als konventionelle Variante steht eine Festgeldanlage mit einer festen Verzinsung von jährlich 3.33 % zur Verfügung. Als weitere Anlagevariante wird dem Kunden ein Modell auf Basis von Wertpapieren angeboten. Dabei wird in Abhängigkeit eines Wirtschaftsindex ein Zinssatz von 1.5,
2.5 oder 5 % ausgezahlt. Da über den Verlauf des Wirtschaftsindex für das Anlagejahr keine Vorhersagen getroffen werden können, haben alle drei möglichen Zinsbeträge eine gleich hohe Wahrscheinlichkeit, sie sind somit gleichverteilt. Bild 4.10 zeigt die resultierende Wahrscheinlichkeitsverteilung f(x) und die Verteilungsfunktion F(x).
Bild 4.10: Grafische Darstellung der Wahrscheinlichkeitsverteilung f(x) und Verteilungsfunktion F(x) für die Verzinsung bei Wertpapieren
Um zu entscheiden, bei welcher Anlagevariante mit höheren Zinserträgen gerechnet werden kann, wird der Erwartungswert beziehungsweise der Mittelwert der zweiten Anlagevariante bestimmt. Dieser folgt zu
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(4.120) |
Im Mittel wird der Kunde bei der Anlagevariante auf Basis des Wirtschaftsindex eine jährliche Verzinsung von 3 % erhalten. Da die mittlere Zinserwartung bei höherem Risiko geringer ist als bei der Festgeld-Anlage, ist die Festgeld-Anlage zu bevorzugen.
Die Erstellung von Bild 4.10 und die Berechnung des Mittelwertes wurde mit MATLAB durchgeführt.
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% Variablendefinition x = [1.5 2.5 5]; % Berechnung der Wahrscheinlichkeitsverteilung und der Verteilungsfunktion p = unidpdf(1:3,3); P = unidcdf(1:3,3); % Grafische Darstellung figure(1); subplot(1,2,1); stem(x,p); subplot(1,2,2); stem(x,P); % Berechnung des Mittelwertes mu = mean(x); |
Alternativ kann die Umsetzung in Python erfolgen.
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""" Bibliotheken importieren""" import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.stats import randint """Definition der Stützstellen""" X = [1.5, 2.5, 5] Xp = np.linspace(1,3,3) low, high = 1, 4 """ Berechnung der Wahrscheinlichkeitsverteilung""" p = randint.pmf(Xp,low, high) P = randint.cdf(Xp,low, high) """ Grafische Darstellung """ fig = plt.figure(1, figsize=(12, 4)) ax1, ax2 = fig.subplots(1,2) ax1.plot(X, p, 'bo', ms=8, label='randint pmf') ax1.vlines(X, 0, p, colors='b', lw=1, alpha=1) ax1.grid(True, which='both', axis='both', linestyle='--') axis([1, 5.5, 0, 0.35]) ax1.set_xticks(X) ax1.set_yticks([0, 1/3]) ax1.set_yticklabels('0', '1/3']) ax1.set_xlabel('Zinsbetrag x / %') ax1.set_ylabel('f(x)') ax1.set_title('Wahrscheinlichkeitsverteilung') ax2.plot(X, P, 'bo', ms=8, label='randint pmf') ax2.vlines(X, 0, P, colors='b', lw=1, alpha=1) ax2.grid(True, which='both', axis='both', linestyle='--') ax2.axis([1, 5.5, 0, 1.05]) ax2.set_xticks(X) ax2.set_yticks([1/3, 2/3, 1]) ax2.set_yticklabels(['1/3', '2/3', '1']) ax2.set_xlabel('Zinsbetrag x / %') ax2.set_ylabel('F(x)') ax2.set_title('Verteilungsfunktion') """ Berechnung Mittelwert """ mu = np.mean(X) print(' ') print('Arithmetischer Mittelwert: ', mu) |
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