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Spezielle stetige Verteilungen

Betragsverteilung 1. Art

Wird die Normalverteilung an einem beliebigen Punkt unterhalb des Mittelwertes μ gefaltet, führt dies zur Betragsverteilung 1. Art. Durch die Faltung werden die Werte links des Faltungspunktes denen rechts vom Faltungspunkt additiv überlagert. Dabei entsteht die Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) der Betragsverteilung 1. Art zu

(4.225)

Die Verteilungsfunktion F(x) folgt durch Integration zu

(4.226)

Die Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) der Betragsverteilung 1. Art ist in Bild 4.40 zu sehen. Die linke Grafik zeigt die Faltung an der Stelle x = 0 einer Normalverteilung mit einem Mittelwert μ = 0.75 und einer Standardabweichung σ = 0.5. Ein Sonderfall stellt die Faltung an der Stelle x = μ dar. Dabei vereinfacht sich die Definitionsgleichung Gleichung (4.225) der Betragsverteilung 1. Art zu

(4.227)

Dies entspricht der rechten Grafik in Bild 4.40. Hierbei wurde eine Normalverteilung mit einem Mittelwert μ = 1 und einer Standardabweichung σ = 0.5 an der Stelle des Mittelwertes μ gefaltet.

Bild 4.40: Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) der gefalteten Normalverteilung

Die Betragsverteilung 1. Art wird zur Bewertung der Prozesssicherheit im Rahmen der statistischen Prozesskontrolle eingesetzt.

Beispiel: Verteilung der Abweichung vom Sollwert bei der Widerstandsfertigung

Die Anwendung der Betragsverteilung 1. Art wird an einem Beispiel der Widerstandsfertigung verdeutlicht. Hierzu wird eine normalverteilte Widerstandsproduktion betrachtet, bei der die Widerstandswerte mit einer Standardabweichung von σ = 0.75 Ω um den Sollwert streuen. Der Betrag dieser Abweichungen vom Sollwert |ΔR| der Fertigung kann mithilfe der Betragsverteilung 1. Art beschrieben werden.

In der linken Grafik in Bild 4.41 ist die Wahrscheinlichkeitsdichte f(ΔR) der Wahrscheinlichkeitsdichte f(|ΔR|) gegenübergestellt. Die rechte Grafik zeigt die entsprechenden Verteilungsfunktionen F(ΔR) und F(|ΔR|).

Bild 4.41: Wahrscheinlichkeitsdichte f(ΔR) beziehungsweise f(|ΔR|) und Verteilungsfunktion F(ΔR) beziehungsweise F(|ΔR|) der Widerstandsabweichung vom Sollwert