Statistics > Univariate Wahrscheinlichkeitstheorie > Spezielle stetige Verteilungen > Dreiecksverteilung > 

Spezielle stetige Verteilungen

Dreiecksverteilung

Liegen nur sehr wenige konkrete Daten zur Bestimmung der Verteilungsfunktion f(x) einer Zufallsvariablen x vor, wird in der Praxis die Dreiecksverteilung als erste Schätzung verwendet. Die Dreiecksverteilung ist auch als Simpson-Verteilung bekannt. Ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung ist in dem Intervall a < x ≤ b definiert durch

(4.175)

Außerhalb des Intervalls a < x ≤ b ist die Wahrscheinlichkeit null. In Gleichung (4.175) beschreibt der Parameter a den kleinsten und der Parameter b den größten Wert der Zufallsvariablen x, der Parameter c gibt die Lage des Maximums an. Durch Integration ergibt sich die Verteilungsfunktion F(x) aus Gleichung (4.175) zu

(4.176)

Bild 4.24 stellt die Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) und Verteilungsfunktion F(x) dar.

Bild 4.24: Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) und Verteilungsfunktion F(x) für eine stetige Dreiecksverteilung

An der Stelle c besitzt die Wahrscheinlichkeitsverteilung f(x) ihr Maximum, das sich aus

(4.177)

ergibt zu

(4.178)

Die Wahrscheinlichkeit P(x ≤ c) berechnet sich zu

(4.179)

Der Mittelwert der durch Gleichung (4.175) definierten stetigen Dreiecksverteilung liegt bei

(4.180)

Die Varianz der dreiecksverteilten Zufallsvariable x ergibt sich aus

(4.181)

Bei Fragestellungen, bei denen keine detaillierten Daten vorliegen und die Annahme einer Gleichverteilung nicht gerechtfertigt ist, wird meist eine Drei-Punkt-Schätzung mithilfe der Dreiecksverteilung durchgeführt. Derartige Schätzungen werden unter anderen zur Berechnung des benötigten Budgets oder zur Bestimmung eines Auslieferungsdatums an Endkunden bei der Projektplanung benötigt. Dabei werden Parameter a, b und c aus der Erfahrung heraus bestimmt.

Beispiel: Drei-Punkt-Schätzung eines Projektaufwandes

Das Vorgehen einer Drei-Punkt-Schätzung wird an einem Beispiel zur Planung der Zeitdauer für die Programmierung einer Software verdeutlicht. Der Software-Entwickler schätzt, dass er für die Programmierung einer derartigen Software durchschnittlich 60 Stunden benötigt. Im günstigsten Fall schätzt er eine Bearbeitungsdauer von 45 Stunden, treten Probleme bei der Hardware auf, kann sich der Aufwand auf 150 Stunden vergrößern.

Es ergibt sich damit die in Bild 4.25 geschätzte Dreiecksverteilung mit einem Maximum von

(4.182)

an der Stelle c = 60 Stunden.

Bild 4.25: Grafische Darstellung der geschätzten Verteilung des Projektaufwandes

Der mittlere Aufwand für das Projekt berechnet sich mit Gleichung (4.180) zu

(4.183)

Aus der Wurzel der in Gleichung (4.181) definierten Varianz folgt die Standardabweichung der Verteilung zu

(4.184)

Die mittlere Schätzung des Programmierers von 60 Stunden wird lediglich mit einer Wahrscheinlichkeit von

(4.185)

erreicht. Daher wird zum Beispiel zur Abschätzung der Kosten, die durch das Projekt entstehen, der mittlere Zeitaufwand von 85 Stunden herangezogen. Dieser wird bei der vorliegenden geschätzten Verteilung mit einer Wahrscheinlichkeit von 55.29 % eingehalten.

♦