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Spezielle stetige Verteilungen

Exponential-Verteilung

In Abschnitt 4.5.6 wird die geometrische Verteilung als Modell zur Abschätzung von Lebensdauern und Wartezeiten abgeleitet. Dabei war die Zufallsvariable x diskret. Die entsprechende Verteilung für stetige Zufallsvariablen ist die Exponential-Verteilung. Sie wird angewendet, um zum Beispiel die Lebensdauer von Produkten oder Zeiträume bis zu Schadensfällen zu berechnen. Voraussetzung für die Anwendung der Exponential-Verteilung ist, dass die noch zu erwartende Lebensdauer nicht von der bereits absolvierten Lebensdauer abhängig ist. Anschaulich bedeutet das, dass das Produkt keine Alterungserscheinungen aufweist. Diese Voraussetzung entspricht der Forderung nach statistischer Unabhängigkeit der Erfolgswahrscheinlichkeit bei der geometrischen Verteilung.

Die Exponential-Verteilung ist für x > 0 definiert als

(4.195)

Daraus folgt für x > 0 die Verteilungsfunktion F(x)

(4.196)

Der Parameter λ beschreibt, wie schnell sich die Wahrscheinlichkeitsdichte dem Wert null nähert. Bild 4.30 stellt für unterschiedliche Parameter λ die Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) und Verteilungsfunktion F(x) der Exponential-Verteilung dar.

Bild 4.30: Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) und Verteilungsfunktion F(x) der Exponentialverteilung für λ = 0.5, 1, 2

Die Erwartungswerte Mittelwert und Standardabweichung können wegen der Exponentialfunktion nicht mehr elementar bestimmt werden. Es kann gezeigt werden, dass sich der Mittelwert und die Varianz der Exponential-Verteilung berechnen zu

(4.197)

und

(4.198)

Die Exponentialfunktion wird neben der Berechnung der noch zu erwartenden Lebensdauer von Bauelementen auch für die Abschätzung der mittleren Betriebsdauer zwischen Ausfällen von Produkten oder Einrichtungen, der Mean Time Between Failures (MTBF), verwendet. Dies wird im folgenden Beispiel aufgezeigt und diskutiert.

Beispiel: Mean Time Between Failures (MTBF) eines Lasersystems

Unter dem Begriff MTBF wird die mittlere Betriebsdauer zwischen zwei Ausfällen einer Einheit verstanden. Die Betriebsdauer gibt dabei an, wie lange eine instandgesetzte Einheit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ausfällen funktionsfähig ist. Die mittlere Betriebsdauer kann daher als Maß für die Zuverlässigkeit herangezogen werden und dient zur Abschätzung von Ausfällen in bestimmten Zeitintervallen. Ist die Betriebsdauer unter Berücksichtigung der oben genannten Einschränkungen exponentialverteilt, ergibt sich die MTBF aus dem Kehrwert der konstanten Ausfallrate λ.

(4.199)

Für ein Lasersystem, dessen erreichbare mittlere Betriebsdauer von dem Hersteller mit 20 Monaten angegeben wird, ergibt sich die in Bild 4.31 dargestellte Exponential-Verteilung mit λ = 0.05.

Bild 4.31: Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) und Verteilungsfunktion F(x) eines Lasersystems

Bei der Interpretation des MTBF-Wertes des Lasersystems muss beachtet werden, dass der MTBF-Wert nicht aussagt, dass das Lasersystem im Mittel 20 Monate ohne Ausfall arbeitet. Aus der Verteilungsfunktion F(x) aus Bild 4.31 berechnet sich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Lasersystem bis zur prognostizierten mittleren Betriebsdauer ausfällt zu

(4.200)

Lediglich 36.79 % der Lasersysteme wird somit 20 Monate zwischen zwei Ausfällen funktionieren. Eine vorbeugende Instandsetzung sollte daher stets vor der prognostizierten mittleren Betriebsdauer durchgeführt werden.

In MATLAB ergibt sich folgende Progamm-Sequenz zur Berechnung.

 

Entsprechend ergibt sich in Python: