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Spezielle stetige Verteilungen

Logarithmische Normalverteilung

Verteilungen von nicht negativen Zufallsvariablen sind oft nicht symmetrisch. Verteilungen von Lebensdauern, Wartezeiten oder Einkommen sind rechtsschief und können deshalb nicht direkt mit der Normalverteilung beschrieben werden. In einigen Fällen kann die Verteilung durch die Exponential-, Rayleigh- oder Weibull-Verteilung erfolgen. Eine weitere Möglichkeit zur Beschreibung ist die logarithmische Normalverteilung. Die logarithmische Normalverteilung ist definiert durch die Zufallsvariable y, die sich aus der Exponentialfunktion der normalverteilten Zufallsvariable x ergibt.

(4.218)

Die Wahrscheinlichkeitsdichte fY(y) ergibt sich durch die Variablentransformation der in Gleichung (4.218) dargestellten Form durch

(4.219)

Mit der Umkehrfunktion

(4.220)

ergibt sich die Wahrscheinlichkeitsdichte fY(y)

(4.221)

und die Verteilungsfunktion FY(y) lautet

(4.222)

Bild 4.37 stellt für Exponential-Verteilungen mit Mittelwert μx = 0 und unterschiedlicher Standardabweichung σx die Wahrscheinlichkeitsdichte fY(y) und Verteilungsfunktion FY(y) dar.

Bild 4.37: Wahrscheinlichkeitsdichte fY(y) und Verteilungsfunktion FY(y) der logarithmischen Normalverteilung für μX = 0 und σX = 0.5, 1 und 2

Mittelwert μY und Varianz σY2 können als Funktion des Mittelwertes μX und Varianz σX2 der nicht logarithmierten Größen dargestellt werden als

(4.223)

und

(4.224)

Die Verteilungsfunktion der logarithmischen Normalverteilung kann im doppelt logarithmisch geteilten Wahrscheinlichkeitspapier durch zwei Geraden angenähert werden. Die Approximation der Verteilungsfunktion durch Geradengleichungen wird mit steigendem Wert für σX besser, wie in Bild 4.38 zu sehen ist.

Bild 4.38: Verteilungsfunktion FY(y) der logarithmischen Normalverteilung für mX = 0 und σX = 0.5, 1 und 2 im doppelt logarithmischen Maßstab

 

Beispiel: Rauigkeit einer Oberfläche

Als Beispiel für die Anwendung der Logarithmischen Normalverteilung wird die Verteilung der Rauigkeit einer Oberfläche dargestellt. Die Untersuchung einer Oberfläche hat ergeben, dass die Verteilung der Rauigkeit durch eine logarithmische Normalverteilung mit einem Mittelwert von μR = 1.78 nm und einer Standardabweichung von σR = 0.65 nm beschrieben werden kann. Bild 4.39 stellt die festgestellte Wahrscheinlichkeitsdichte f(R) und die Verteilungsfunktion F(R) der Rauheit R dar.

Bild 4.39: Darstellung der Verteilung der Rauheit R einer Oberfläche

Der Wert der Rauigkeit kann nicht kleiner als 0 werden. Dies führt zu einer rechtsschiefen Verteilung.