Statt der Anwendung zur Beschreibung von Lebensdauern wird hier ein Beispiel zur Berechnung von mittleren Leistungen bei Windkraftanlagen aufgegriffen. Der natürliche Wind schwankt in seiner Geschwindigkeit. Um die Energieerzeugung durch eine Windkraftanlage vorhersagen zu können, muss daher bekannt sein, welche Häufigkeitsverteilung der Wind an einem Standort besitzt. Üblicherweise werden die zeitlichen Häufigkeiten der verschiedenen Geschwindigkeiten durch die zweiparametrische Weibull-Verteilung mit den Parametern β und η beschrieben.
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Der Parameter β ist der Weibull-Formfaktor und gibt die Form der Verteilung an, er nimmt einen Wert von β = 1 bis 3 an. Einen großen β-Wert gibt es für Winde mit geringen Schwankungen, wie zum Beispiel bei konstanten Passatwinden. In Europa ist ein β-Faktor von 2 üblich. Sehr variable Winde, wie zum Beispiel die Winde im Polargebiet werden durch ein kleines β beschrieben. Der Parameter β nimmt mit der Höhe leicht zu, da Turbulenzen und Schwankungen mit der Höhe sinken.
Der Parameter η ist der Weibull-Skalierungsfaktor in m/s. Er steht in einem bestimmten Verhältnis zum Mittelwert der Windgeschwindigkeit v der Verteilung und ist damit von dem Standort der Windkraftanlage abhängig. Der Parameter η beschreibt damit die Lage der Verteilung auf der Geschwindigkeitsachse.
Bild 4.29 vergleicht die Windgeschwindigkeitsverteilung von Europa (β = 2) mit der Windverteilung von Passatwinden (β = 3) für einen konstanten Skalierungsfaktor von η = 10.
Bild 4.29: Vergleich der Windgeschwindigkeitsverteilungen von Europa (β = 2) mit der Windverteilung von Passatwinden (β = 3) jeweils für einen Skalierungsfaktor η = 10
Windkraftanlagen arbeiten in einem definierten Geschwindigkeitsintervall. Bei diesem Beispiel wird eine Windkraftanlage zugrunde gelegt, die bei Geschwindigkeiten zwischen 5 und 15 m/s arbeitet, einen Rotorradius von 5 m und einen als konstant angenommenen Leistungsbeiwert cp = 0.48 besitzt. Die mittlere Leistung P der Windkraftanlage errechnet sich nach mit einer Dichte und ρ = 1.2 kg/m³ aus dem Erwartungswert
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Dabei werden für f(v) je nach Standort unterschiedliche Weibull-Verteilungen zugrunde gelegt. Für das Beispiel ergibt sich bei einem Standort in Europa ein Erwartungswert von 15.4 kW, bei einem Standort mit Passatwinden ein Erwartungswert von 19.1 kW. Aufgrund der engeren Verteilung bei Passatwinden befindet sich die Windkraftanlage oft in dem Betriebsbereich. Mit steigendem Wert β steigt deshalb die Ausbeute der Windenergie.
Die zur Berechnung erforderliche MATLAB-Sequenz zeigt sich wie folgt.
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% Geschwindigkeitsvektor erzeugen dv = 0.01; v = 5:dv:15; % Variablendefinition Leistungsberechnung roh = 1.2; r = 5; A = pi*r^2; cp = 0.48; % Leistungsberechnung über Riemannsche Summe P1 = sum(0.5 * cp * roh * A * v.^3.*wblpdf(v,10,2)*dv) P2 = sum(0.5 * cp * roh * A * v.^3.*wblpdf(v,10,3)*dv) |
Die Realisierung in Python führt zu demselben Ergebnis.
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""" Bibliotheken importieren """ import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.stats import weibull_min """ Geschwindigkeitsvektor erzeugen """ dv = 0.01 v = np.arange(5 , 15+dv , dv) """ Variablendefinition Leistungsberechnung """ roh = 1.2 r = 5 A = np.pi*r**2 cp = 0.48 P = 0.5 * cp * roh * A * v**3 """ Variablendefinition Weibullverteilung """ beta = [2, 3] eta = 10 fw = np.empty((len(beta),len(v))) for k in [0,1]: fw[k,:] = weibull_min.pdf(v, beta[k], 0, eta) quot;"" Berechnung der Leistungen """ P1 = np.sum(P*fw[0,:]*dx) P2 = np.sum(P*fw[1,:]*dx) print(' ') print('Mittlere Leistung Europa: ', P1) print('Mittlere Leistung Passatwinde: ', P2) |
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