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Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Zufallsvariablen

Als Zufallsvariable wird allgemein eine Variable bezeichnet, die das Ergebnis eines Zufallsexperimentes repräsentiert. Zum Beispiel kann bei einem Würfelexperiment mit zwei Würfeln das Zufallsergebnis über die Summe der beiden Augenzahlen dargestellt werden. Bei einem Prozess mit stetigen Ergebniswerten, wie zum Beispiel der Fertigung von Widerständen, wird die Abweichung vom Sollwert durch eine Zufallsvariable beschrieben. Aber auch, wenn die bei einem Experiment denkbaren Ereignisse nicht direkt mit Zahlen beschrieben werden, kann jedem möglichen Ereignis eine Zahl zugeordnet werden. Diese Zahl gibt im einfachsten Fall den Index der Menge an, zu dem das Ergebnis des Zufallsexperimentes gehört. Zum Beispiel können die Permutationen der Buchstaben a, b und c in Gruppen eingeteilt werden, die einer Zufallsvariable x zugeordnet werden.

Tabelle 4.1: Zuordnung von Zufallsereignissen zu einer Zufallsvariablen x

Zufallsvariable x Ergebnis des Experimentes
1 abc bac
2 cab acb
3 bca cba

 

In jedem dieser Beispiele kann die Zufallsvariable x verschiedene Werte annehmen. Aber es lässt sich nicht vorhersagen, welchen Wert die Zufallsvariable annehmen wird, da dieser Wert vom Einfluss unkontrollierbarer Umstände abhängt.

Zufallsvariablen können in die gleichen Gruppen eingeteilt werden, wie die Merkmalstypen bei der beschreibenden Statistik. Stetige Merkmalstypen entsprechen stetigen Zufallsvariablen, diskrete Merkmalstypen sowie ordinale und gruppierende Merkmalstypen werden über diskrete Zufallsvariablen abgebildet.

Mathematisch wird einem Zufallsexperiment eine Zufallsvariable x zugeordnet, die folgende Eigenschaften besitzen muss:

  • Die Werte von x sind reelle Zahlen.

  • Für jede Zahl a und für jedes Intervall I ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses x = a und x ∈ I im Einklang mit den Axiomen der Wahrscheinlichkeit.

Beispiel: Würfelexperiment

Anhand des Zufallsexperimentes Würfeln mit zwei Würfeln wird der zweite Teil der Definition erläutert. Die Zufallsvariable x stellt die Summe der beiden Augenzahlen dar. Die Wahrscheinlichkeit P(x = 2) ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis des Zufallsexperiments die Augenzahl 2 ist. Da dieses Ergebnis nur erreicht wird, wenn zweimal die Augenzahl 1 erscheint, ist die Wahrscheinlichkeit

(4.1)

Auch für jedes andere Zufallsereignis des Experimentes liegt die Wahrscheinlichkeit im Bereich 0 ≤ P ≤ 1. Das sichere Ereignis ist, dass die Summe der Augenzahlen zwischen 2 und 12 liegt. Nach Axiom 2 ist die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis 1.

(4.2)

Die Ereignisse x = 2 und x ≠ 2 schließen sich gegenseitig aus. Nach Axiom 3 gilt damit für die Wahrscheinlichkeit, dass x ≠ 2 ist:

(4.3)

Das Zufallsexperiment erfüllt damit die Axiome der Wahrscheinlichkeit, die Summe der beiden Augenzahlen ist eine Zufallsvariable.

♦

Durch die Zuordnung von Ergebnissen eines Zufallsexperimentes zu Zufallsvariablen ist es möglich, die Wahrscheinlichkeit von Zufallsexperimenten als Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable x darzustellen und mit ihr zu rechnen.