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Superpositionsprinzip

Bedeutung des Superpositionsprinzips

Viele Aufgabenstellungen der Elektrotechnik können in guter Näherung mit linearen Netzwerken beschrieben werden, die mehrere Quellen aufweisen. Beispiele dazu sind

  • Hochspannungsnetze zur elektrischen Energieversorgung
  • elektrische Speicher und ihre Ladungsregelungen
  • elektrische Messsysteme

Auch elektronische Netzwerke können über lineare Netzwerke beschrieben und mit dem Superpositionsprinzip analysiert werden. In Kapitel 12 werden Operationsverstärkerschaltungen behandelt, die mit dem Superpositionsprinzip berechnet werden können. Ergänzend dazu wird in diesem Abschnitt eine Transistorschaltung mit einem linearen Netzwerk beschrieben. Dabei wird die Transistorschaltung im sogenannten aktiven Bereich mit einem Ersatzschaltbild charakterisiert. Auch ohne Verständnis der eigentlichen Transistorschaltung verdeutlicht das Beispiel die Leistungsfähigkeit des Superpositionsprinzips.

Bild 9.8: Transistorschaltung und ihr elektrisches Ersatzschaltbild im aktiven Bereich

Das Ersatzschaltbild weist ausschließlich lineare Bauelemente und ideale Quellen auf. Einen Sonderfall nimmt die ideale Stromquelle ein, die eine sogenannte gesteuerte Quelle ist (Kapitel 11.2). Zur Berechnung der Schaltung wird der Strom IB benötigt. Er wird im Folgenden über das Superpositionsprinzip bestimmt.

Aktive Spannungsquelle U1

Im ersten Schritt werden alle Quellen bis auf die Eingangsspannung U1 zu null gesetzt. Mit den Regeln in Tabelle 9.1 ergibt sich das in Bild 9.9 gezeigt Ersatzschaltbild.

Bild 9.9: Ersatzschaltbild für U1 als aktive Quelle

Der Basisstrom errechnet sich in diesem Fall mit dem ohmschen Gesetz zu

(9.20)

Aktive Spannungsquelle UBE0

Im zweiten Schritt werden alle Quellen bis auf die Spannung UBE0 zu null gesetzt. Es ergibt sich das das in Bild 9.10 gezeigt Ersatzschaltbild.

Bild 9.10: Ersatzschaltbild für UBE0 als aktive Quelle

Wieder berechnet sich die Ausgangsspannung mit dem ohmschen Gesetz. Unter Berücksichtigung der Zählpfeilrichtungen ergibt sich

(9.21)

Aktive Stromquelle

Im dritten Schritt werden alle Quellen bis auf die Stromquelle zu null gesetzt. Das Ersatzschaltbild ist in Bild 9.11 dargestellt.

Bild 9.11: Ersatzschaltbild mit aktiver Stromquelle

Der Strom der Quelle fließt durch die Parallelschaltung von RB und RC. Damit berechnet sich die Spannung an den Widerständen RE und RB zu

(9.22)

Mit dem ohmschen Gesetz ergibt sich unter Berücksichtigung der Zählpfeilrichtung

(9.23)

Aktive Spannungsquelle U2

Ist die Spannungsquelle U2 aktiv, ist die Stromquelle definitionsgemäß passiv und wird aus der Schaltung entfernt. Damit ist aber auch die Spannungsquelle U2 von der Schaltung abgekoppelt. Sie hat keinen Einfluss auf den Strom IB und wirkt sich erst auf die Berechnung der Ausgangsspannung aus.

Überlagerung der Teilwirkungen

Der Gesamtstrom IB errechnet sich aus der Überlagerung der Teilwirkungen.

(9.24)

Da der Strom auf beiden Seiten der Gleichung vorkommt, muss die Gleichung über

(9.25)

und

(9.26)

nach dem Strom IB aufgelöst werden zu

(9.27)

Damit berechnet sich der Strom durch den Widerstand RC zu

(9.28)

Die gesuchte Ausgangsspannung UA ergibt sich über die Versorgungsspannung U2 und den Spannungsabfall am Widerstand RC zu

(9.29)

Wie in diesem Beispiel werden in unterschiedlichen Disziplinen der Elektrotechnik komplexe Aufgabenstellungen in Teilaufgaben zerlegt, die eine übersichtliche analytische Lösung erlauben. Das hier eingeführte Superpositionsprinzip wird nicht nur in der klassischen Elektrotechnik eingesetzt. Es eignet sich darüber hinaus zur Beschreibung elektromagnetischer Felder sowie linearer Systeme in der Systemtheorie und Regelungstechnik.