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Superpositionsprinzip

Superpositionsprinzip

Ein Netzwerk, das ausschließlich aus linearen Bauelementen und idealen Quellen besteht, wird als lineares Netzwerk bezeichnet. In linearen Netzwerken überlagern sich die einzelnen Wirkungen unterschiedlicher Quellen auf einen Strom oder eine Spannung linear. Jeder Zweigstrom beziehungsweise jede Zweigspannung ergibt sich aus der richtungsabhängigen Summe aller Strom- beziehungsweise Spannungskomponenten, die die einzelnen Quellen für sich alleine durch den betreffenden Zweig treiben würden. Diese Überlagerung wird als Superposition bezeichnet. Der mathematische Beweis dieses Prinzips erfolgt über das Knotenpotenzialverfahren im Kapitel Knotenpotenzialverfahren.

Sind in einem Netzwerk mehrere Quellen enthalten, werden zunächst die Wirkungen der einzelnen Quellen berechnet. Alle anderen Quellen verhalten sich passiv, ihre Spannungen und Ströme werden zu null gesetzt. Passive Spannungsquellen werden wie bei der Berechnung des Innenwiderstandes bei dem Satz der Ersatzquelle im Kapitel Satz von der Ersatzspannungsquelle durch einen Kurzschluss ersetzt. Passive Stromquellen werden dagegen durch einen Leerlauf ersetzt, was einem Entfernen der Stromquelle entspricht.

Das Verfahren wird für jede Quelle durchgeführt. Die Gesamtwirkung, das heißt die Gesamtspannung oder der Gesamtstrom, ergibt sich dann aus der Summe der einzeln errechneten Teilspannungen beziehungsweise Teilströme. Das Superpositionsprinzip führt zu einfacheren und übersichtlicheren Lösungswegen zur Netzwerkberechnung.

Tabelle 9.1: Ersetzen von passiven Spannungs- und Stromquellen beim Superpositionsprinzip
Ideale Spannungsquelle Kurzschluss, Quelle wird kurzgeschlossen
Ideale Stromquelle Leerlauf, Quelle wird entfernt

Beispiel: Beispiel zum Superpositionsprinzip

Zur Verdeutlichung des Superpositionsprinzips wird das Netzwerk aus Bild 9.5 analysiert. Es besteht aus idealen Quellen und ohmschen Widerständen. Es handelt sich damit um ein lineares Netzwerk.

Bild 9.5: Lineares Netzwerk mit Spannungs- und Stromquelle

Zur Berechnung der Ausgangsspannung UA wird das Superpositionsprinzip verwendet. Im ersten Schritt wird die Stromquelle zu null gesetzt. Gemäß den in Tabelle 9.1 aufgeführten Regeln wird die Stromquelle entfernt. Es ergibt sich das in Bild 9.6 gezeigt Ersatzschaltbild.

Bild 9.6: Netzwerk mit passiver Stromquelle

Der Widerstand R1 war in Reihe zur Stromquelle geschaltet. Da der Zweig unterbrochen ist, hat der Widerstand keine Funktion mehr. Der Widerstand R3 ist parallel zur Spannungsquelle geschaltet, er geht in die Berechnung der Spannung UA nicht ein. Die Ausgangspannung ergibt sich in diesem Fall zu

(9.17)

Im zweiten Schritt wird die Spannungsquelle U0 zu null gesetzt. Nach den in Tabelle 9.1 aufgeführten Regeln wird die Spannungsquelle damit durch einen Kurzschluss ersetzt. Bild 9.7 zeigt das resultierende Ersatzschaltbild.

Bild 9.7: Netzwerk mit passiver Spannungsquelle

Da der Widerstand R3 parallel zur Spannungsquelle geschaltet ist, wird er kurzgeschlossen und hat keine Funktion mehr. Der Widerstand R1 ist in Reihe zur Stromquelle I0 geschaltet und geht deshalb in die Berechnung der Spannung UA nicht ein. Damit ergibt sich eine Parallelschaltung von R2 und R4, die von einem Strom I0 durchflossen wird. Unter Berücksichtigung der Zählpfeilrichtung berechnet sich die Ausgangsspannung nach dem Ohmschen Gesetz zu

(9.18)

Beide Teilergebnisse werden überlagert, und es ergibt sich die Ausgangsspannung

(9.19)

Das Beispiel zeigt, wie Schaltungen mit mehreren Quellen mithilfe des Superpositionsprinzips in übersichtliche Teilschaltungen zerlegt werden können. Die Berechnung der Spannungen und Ströme wird dadurch vereinfacht und übersichtlicher.