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Vierpole

Beschreibung des Klemmenverhaltens von linearen Vierpolen

Ein Vierpol ist ein elektrisches Netzwerk mit vier Anschlüssen, das aus verschiedenen elektrischen oder elektronischen Bauteilen besteht. Typischerweise werden zwei dieser Anschlüsse als Eingang und die beiden anderen als Ausgang angesehen. Bild 11.1 stellt Vierpole und die Bezeichnung der Ein- und Ausgangsklemmen dar.

Bild 11.1: Schaltzeichen und Zählpfeile für allgemeine Vierpole und den Sonderfall der Zweitore

Im Allgemeinen müssen die Ströme I11 und I12 sowie I21 und I22 nicht gleich groß sein. In vielen Anwendungsfällen ist das jedoch der Fall. Die entsprechenden Vierpole werden als Zweitore bezeichnet. Bei Zweitoren ist der Strom I11, der in den einen Eingangsknoten fließt, genauso groß wie der Strom I12, der aus dem anderen Eingangsknoten fließt. Der Strom wird deshalb als I1 bezeichnet. Dasselbe gilt für die Ströme I21 und I22 am Ausgang. Diese Ströme werden mit I2 bezeichnet. Das entsprechende Schaltzeichen und die Zählpfeile sind Bild 11.1 zu entnehmen. Ein Zweitor ist damit eine beliebige elektronische Schaltung, die durch vier Klemmen von außen beschrieben werden kann und die Bedingungen

(11.1)

und

(11.2)

erfüllt. Ob ein Vierpol als Zweitor behandelt werden darf oder nicht, richtet sich nicht nur nach seinem inneren Aufbau, sondern auch nach seiner äußeren Beschaltung. Beispielsweise kann eine äußere Leitung wie in Bild 11.2 um den Vierpol herum dazu führen, dass die Bedingung I11 = I12 und I21 = I22 nicht eingehalten wird.

Bild 11.2: Zweitor mit äußerer Beschaltung

Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass es sich bei den zu analysierenden Schaltungen um Zweitore handelt, die teilweise auch als Vierpole bezeichnet werden.

In Kapitel 9 wird gezeigt, dass das Verhalten von linearen Schaltungen unabhängig von Spannung und Strom ist und dass für lineare Schaltungen das Superpositionsprinzip gilt. Es kann gezeigt werden, dass ein Zweitor, das nur aus passiven linearen Bauelementen Widerstand, Spule und Kondensatoren besteht, immer linear ist. Lineare Zweitore sind Gegenstand der klassischen Vierpoltheorie. Nur für sie gelten die linearen Zweitorgleichungen und damit die im Folgenden beschriebene Matrizendarstellung der Zweitorparameter. Typische Beispiele für lineare Vierpole sind Filter, Transformatoren und Verstärker. Bild 11.3 demonstriert an einigen Beispielen, wie unterschiedliche Schaltungen als Vierpole aufgefasst werden können.

Bild 11.3: Beispiele für die Darstellung von Schaltungen als Vierpol

Zum besseren Verständnis der Vierpoltheorie wird zunächst die Beschreibung von Vierpolen über Matrizen eingeführt, die aber in diesem Buch nicht weiterverfolgt wird. Bild 11.1 zeigt, dass an einem linearen Zweitor vier Größen an den Klemmen gemessen werden können, nämlich U1, U2, I1 und I2. Werden zwei dieser Größen vorgegeben, ergeben sich die beiden anderen Größen über die Zweitorgleichungen. Je nach Auswahl der abhängigen und unabhängigen Größen ergeben sich unterschiedliche lineare Gleichungssysteme in Form von Matrizengleichungen, deren wichtigste Vertreter in Tabelle 11.1 zusammengefasst sind.

Tabelle 11.1: Matrizen zur Beschreibung von Vierpolen
Matrix-Form Gleichung
Widerstand-Matrix
Leitwert-Matrix
Ketten-Matrix

Da die Beschreibung von Vierpolen über Matrizen in diesem Buch nicht weiterverfolgt wird, wird das Vorgehen nur an einem Beispiel aufgezeigt. Ausführliche Herleitungen und Anwendungen sind in [Altm03] zu finden.

Beispiel: Beschreibung einer Schaltung mit Kettenmatrizen

Eine Schaltung, die aus einem Spannungsteiler und einem Verstärker besteht, wird mit Hilfe von Kettenmatrizen beschrieben. Bild 11.4 zeigt den Schaltungsaufbau.

Bild 11.4: Beispiel für die Beschreibung einer Schaltung mit Kettenmatrizen

Die Schaltung wird in zwei Teile zerlegt. Der erste Teil ist ein Spanungsteiler, der als Vierpol beschrieben wird. Um die Kettenmatrix aufstellen zu können, müssen die Spannung U1 und der Strom I1 als Funktion von U2 und I2 beschrieben werden. Mit der Knotenregel gilt

(11.3)

Außerdem ergibt sich für die Masche am Eingang

(11.4)

Damit kann das Übertragungsverhalten des Spannungsteilers mit der Matrizengleichung

(11.5)

beschrieben werden. Der zweite Schaltungsteil ist ein Verstärker, dessen Ausgangsspannung U3 über den Verstärkungsfaktor E von der Eingangsspannung U2 abhängt. Es gilt der Zusammenhang

(11.6)

beziehungsweise

(11.7)

Außerdem kann der Strom I2 am Eingang berechnet werden über

(11.8)

Damit kann der zweite Schaltungsteil beschrieben werden als

(11.9)

Der Zusammenhang zwischen den Eingangsgrößen U1 und I1 und den Ausgangsgrößen U3 und I3 berechnet sich über die Gleichung

(11.10)

Das Schaltungsverhalten kann mit der Matrix A beschrieben werden, die sich aus dem Produkt von A1 und A2 ergibt.

(11.11)

Daraus ergeben sich die beiden Gleichungen

(11.12)

und

(11.13)

Das Beispiel zeigt, wie mehrstufige Schaltungen mithilfe der Matrizengleichungen formell beschrieben werden können. Der Vorteil der Darstellung ist, dass komplexe Schaltungen in übersichtlichere Teile zerlegt werden können. Jeder Schaltungsteil wird über eine Matrizengleichung charakterisiert. Die Beschreibung des Gesamtsystems ergibt sich aus der Kombination der unterschiedlichen Matrizengleichungen. Allerdings gehen wegen der abstrakten Beschreibungsform Kausalzusammenhänge verloren. Zum Beispiel suggeriert Gleichung (11.13), dass der Eingangsstrom I1 unabhängig von dem Widerstand R1 ist, was aber nicht der Fall ist. Die Abhängigkeit ergibt sich über die Spannung U3. Die Schaltungsbeschreibung über Matrizen hat sich deshalb nicht allgemein durchgesetzt.