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Periodische, zeitabhängige Größen

Periodische Schwingungen

Im Folgenden sollen periodisch zeitabhängige Größen näher betrachtet werden.

Bei diesen Größen wiederholt sich im gesamten Zeitbereich (-∞ < t < +∞) jeder Funktionswert immer wieder nach der gleichen Zeitspanne. Man sagt, die Größe schwingt, und nennt den Vorgang eine periodische Schwingung.

Die Periodendauer oder Periode T ist die kürzeste Zeitspanne, nach der sich der Zeitverlauf wiederholt. Ist die periodisch zeitabhängige Größe z.B. eine Spannung, so gilt

(1.1)

Der Kehrwert der Periodendauer ist die Frequenz f:

(1.2)

Die Einheit ist:

(1.3)

Der Zahlenwert einer Frequenz in Hz gibt an, wie oft eine Schwingung in einer Sekunde stattfindet. Die Einheit Hz ist nur für Frequenzen zulässig und darf nicht generell für 1/s verwendet werden. Hier einige Anwendungen mit ihren Zahlenwerten:

Tabelle 1.1: Anwendungen und ihre Frequenzbereiche
Anwendung Frequenz
Hörbarer Tonbereich 15 Hz – 16 kHz
Zeitzeichensender DCF77 (Funkuhr) 77,5 kHz
Langwelle 150 kHz - 350 kHz
Mittelwelle 535 kHz - 1,605 MHz
Kurzwelle 3 MHz - 30 MHz
UKW-Rundfunk 87,6 MHz - 108 MHz
GSM-900 Mobilfunk 890 MHz – 915 MHz 935 MHz – 960 MHz
GSM-1800 Mobilfunk 1710 MHz – 1785 MHz 1805 MHz – 1880 MHz
UMTS-Mobilfunk 1920 MHz – 2170 MHz
Satellitenempfang 8 GHz - 12 GHz

 

Zur Beschreibung einer schwingenden Größe muss ihr Augenblickswert für mindestens eine Periode angegeben werden. Dazu ist es nötig im Allgemeinen den Bezugssinn (Bepfeilung) eindeutig anzugeben. Bild 1.1 zeigt einen zeitlichen Verlauf einer periodischen Spannung, deren Wert im Intervall t1 < t < t3 positiv und im Zeitabschnitt t3 < t < t5 negativ ist. Dem Verlauf kann man einige Kenngrößen entnehmen:

  • Die Periodendauer T = t5 - t1, da sich ab t = t5 der Vorgang wiederholt.

  • Die maximale Spannung umax zum Zeitpunkt t = t2

  • Die minimale Spannung umin zum Zeitpunkt t = t4

  • Die Schwingungsweite oder auch Spitze-Spitze-Wert (engl. peak-to-peak value). Diese entspricht der Differenz zwischen maximalem und minimalem Wert der Spannung. Das Symbol wird mit dem Index PP oder in deutschen Beschreibungen auch mit dem Index SS gekennzeichnet:

(1.4)

·         Den Scheitelwert (engl. peak value). Er entspricht dem maximalen Betrag einer periodischen Funktion. In Bild 1.1 ist dies der Wert umax. Gekennzeichnet wird dieser Wert mit einem Dach:

(1.5)

Der Scheitelwert ist also jeweils der betragsmäßig größere Wert von umin oder umax

(1.6)

 

Bild 1.1: Zeitlicher Verlauf einer periodischen Spannung