Laplace-Transformation zeitkontinuierlicher Signale

Zeitkontinuierliche Signale können mithilfe der Laplace-Transformation in einen sogenannten Laplace-Bereich transformiert werden. Im Laplace-Bereich lassen sich lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten vergleichsweise einfach und anschaulich lösen. Darüber hinaus eignet sich der Laplace-Bereich zur Charakterisierung von linearen, zeitinvarianten Systemen mit sogenannten Übertragungsfunktionen.

In diesem Kapitel wird die Laplace-Transformation vorgestellt. Nach der Definition der Laplace-Transformation werden einige Korrespondenzen über die Definitionsgleichung bestimmt. Die eher aufwendige Bestimmung von Korrespondenzen über die Definitionsgleichung kann vermieden werden, wenn die vorliegende Funktion auf Funktionen mit bekannten Korrespondenzen zurückgeführt werden kann. Die dazu notwendigen Rechenregeln werden hergeleitet und der Nutzen an Beispielen demonstriert.

Anhand eines einfachen Beispiels wird die Bedeutung der Laplace-Transformation für die Lösung von Differentialgleichungen aufgezeigt. Dabei wird motiviert, warum die Rücktransformation vom Laplace-Bereich in den Zeitbereich erforderlich ist. Die Rücktransformation vom Laplace-Bereich in den Zeitbereich kann grundsätzlich über ein Umkehrintegral erfolgen. Da dieser Weg aufwendig ist und Kenntnisse in der Funktionentheorie voraussetzt, wird er in der Praxis vermieden. Die bei technischen Anwendungen entstehenden Laplace-Transformierten sind typischerweise gebrochen rationale Funktionen. Sie können in Partialbrüche zerlegt werden, die sich mithilfe der angesprochenen Rechenregeln und einiger Korrespondenzen in den Zeitbereich transformieren lassen.

Die computerunterstützte Berechnung von Laplace-Transformierten wird anhand des Programms MATLAB beschrieben. Nach der Zusammenstellung der für die analytische Berechnung wesentlichen Befehle werden einige Beispiele und Beweise mithilfe der Symbolic Math Toolbox berechnet.