Spektrum eines Signals
Signale können auf unterschiedliche Arten beschrieben werden. Intuitiv erfolgt die Beschreibung im Zeitbereich, weil Signale im Zeitbereich aufgenommen und wahrgenommen werden. Als zweite Möglichkeit wird in Kapitel 4 Laplace-Transformation zeitkontinuierlicher Signale der Laplace-Bereich eingeführt. Die Beschreibung von Signalen im Laplace-Bereich ist einerseits abstrakter, erlaubt andererseits aber eine übersichtliche Beschreibung linearer, zeitinvarianter Systeme.
Mit dem Frequenzbereich wird eine weitere Beschreibungsform für Signale und Systeme vorgestellt. Im Frequenzbereich werden einem Signal ein sogenanntes Spektrum und einem System ein sogenannter Frequenzgang zugeordnet. Zu Beginn dieses Kapitels wird der Begriff des Spektrums eingeführt und die Bedeutung für verschiedene technische Bereiche diskutiert.
Periodische Signale können als Überlagerung von harmonischen Schwingungen dargestellt werden. Die mathematische Charakterisierung dieser harmonischen Schwingungen mit ihren Frequenzen, Amplituden und Phasen ergibt sich aus der Fourier-Reihe des Signals, die hier als komplexe Fourier-Reihe eingeführt wird.
Die Berechnung des Spektrums eines nicht periodischen Signals findet dagegen über die sogenannte Fourier-Transformation statt, deren mathematische Definition der Laplace-Transformation ähnelt. Die Fourier-Transformation wird als Grenzbetrachtung der Fourier-Reihe motiviert, und die Spektren einiger Signale werden über die Definitionsgleichung berechnet. Aus den Rechnungen ergibt sich eine Bedingung für die Existenz der Fourier-Transformierten von Signalen.
Um die eher aufwendige Berechnung des Spektrums über die Definitionsgleichung zu umgehen, können die entsprechenden Signale in Signalanteile zerlegt werden, von denen das Spektrum bekannt ist. Diese Zerlegung erfordert Rechenregeln zur Fourier-Transformation, die hergeleitet und an Beispielen illustriert werden.
Zur besseren Einordnung der Fourier-Transformation wird ein Zusammenhang zur Laplace-Transformation und zur Fourier-Reihe hergestellt. Aus diesen Zusammenhängen werden weitere Berechnungsmöglichkeiten für Fourier-Transformierte abgeleitet.
In einem Projekt aus dem Bereich der Analytik werden die Vorteile der Beschreibung von Signalen im Frequenzbereich vertieft und Anwendungen aufgezeigt.
