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Analyse und Simulation von Systemen mit MATLAB

Mit der Kenntnis der Laplace-Transformation und der Systembeschreibung über Übertragungsfunktionen können MATLAB und Simulink effizienter für die Analyse und Simulation von Systemen eingesetzt werden.

Interpretation der Übertragungsfunktion mit MATLAB

Neben den MATLAB-Funktionen, die bei der Laplace-Transformation behandelt werden, bietet MATLAB die Möglichkeit, eine Übertragungsfunktion im Laplace-Bereich zu definieren und zu interpretieren. Tabelle 5.8 stellt einige MATLAB-Befehle zur Interpretation von Übertragungsfunktionen zusammen.

Tabelle 5.8: Tabellarische Übersicht über Befehle zur Interpretation von Übertragungsfunktionen in MATLAB

Befehl Beschreibung
G = tf([bM ... b0],[aN ... a0]); Definition der Übertragungsfunktion über Zähler- und Nennerpolynom, Koeffizienten in absteigender Reihenfolge ihrer Potenz
zero(G) Berechnung der Nullstellen der Übertragungsfunktion
pole(G) Berechnung der Pole der Übertragungsfunktion
pzmap(G) Darstellung der Pole und Nullstellen in der s-Ebene
impulse(G) Berechnung / Darstellung der Impulsantwort
step(G) Berechnung / Darstellung der Sprungantwort

 

Einige dieser Funktionen haben Erweiterungen, die sich aus der MATLAB-Hilfe ergeben und die hier nicht detailliert dargestellt werden sollen. Stattdessen wird die Interpretation der Übertragungsfunktion mit MATLAB an einem Beispiel dargestellt.

Beispiel: Interpretation der Übertragungsfunktion mit MATLAB

Vor der Analyse wird die Übertragungsfunktion definiert. Hier soll das Beispiel einer Übertragungsfunktion mit konjugiert komplexen Polstellen aufgegriffen werden, um die MATLAB-Ergebnisse mit den analytisch berechneten Ergebnissen vergleichen zu können. Die Übertragungsfunktion lautet:

(5.154)

Die Definition erfolgt über die Koeffizienten von Zähler- und Nennerpolynom, die jeweils als Vektor dargestellt werden. Dabei ist zu beachten, dass MATLAB die Koeffizienten in absteigender Reihenfolge ihrer Potenz erwartet.

% Definition der Übertragungsfunktion
b = [1 5];
a = [1 2 26];
g = tf(b,a);

 

Ist die Übertragungsfunktion definiert, können Pole und Nullstellen berechnet werden. Weiterhin ist die Darstellung der Pole und Nullstellen in der s-Ebene möglich.

% Berechnung der Pole und Nullstellen
pole(g);
zero(g);
 
% Darstellung der Pole und Nullstellen in der komplexen s-Ebene
pzmap(g);

 

Mit diesem Befehlen gibt MATLAB die Pole und Nullstellen an und stellt sie wie in Bild 5.18 als Grafik dar.

Bild 5.18: Pole und Nullstellen in der komplexen s-Ebene

Dabei wird neben den Polen und Nullstellen die reelle und die imaginäre Achse eingezeichnet, um die Schwingungs- und Stabilitätseigenschaften direkt ablesen zu können. Die Impuls- und Sprungantworten werden mit dem Befehlen impulse(g) und step(g) dargestellt

% Darstellung der Impulsantwort
subplot(1,2,1);
impulse(g);

% Darstellung der Sprungantwort
subplot(1,2,2);
step(g);

 

Für das Beispiel ergeben sich die in Bild 5.19 dargestellten Signalverläufe.

Bild 5.19: Impuls- und Sprungantwort berechnet mit MATLAB

Alternativ kann die Grafik unterdrückt und die Ergebnisse als Vektor abgespeichert werden.

% Ergebnis der Sprungantwort
[y,t] = step(g,6);

 

Weitere Informationen zu dem Verfahren können der MATLAB-Hilfe entnommen werden.

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