Lösung von Differentialgleichungen mit der Laplace-Transformation
Eine wichtige Voraussetzung für die Beschreibung linearer, zeitinvarianter Systeme ist die Lösung von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und Anfangsbedingungen mit der Laplace-Transformation. Dabei wird das in Bild 5.1 dargestellte Verfahren verwendet.
Bild 5.1: Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen mit der Laplace-Transformation
Die Differentialgleichung wird in den Laplace-Bereich transformiert, wobei die Anfangsbedingungen berücksichtigt werden. Die Lösung der Differentialgleichung im Laplace-Bereich wird dadurch vereinfacht, dass eine Ableitung im Zeitbereich im Laplace-Bereich einer Multiplikation mit der Variable s entspricht. Dadurch wird aus der Differentialgleichung im Zeitbereich eine algebraische Gleichung, die vergleichsweise einfach gelöst werden kann. Es ergibt sich eine Lösung Y(s) im Laplace-Bereich, die bei technischen Anwendungen oftmals eine gebrochen rationale Funktion ist. Die Laplace-Transformierte Y(s) muss zurück in den Zeitbereich transformiert werden. Dazu wird die gebrochen rationale Funktion in Partialbrüche aufgeteilt, die einfache beziehungsweise mehrfache reelle Pole oder konjugiert komplexe Polpaare aufweist. Das Vorgehen wird anhand von Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung verdeutlicht.
