In Abschnitt 3.5.1 Beschreibung von Systemen mit Blockdiagrammen wird zur Simulation von Systemen die Beschreibung von Systemen mit Blockdiagrammen eingeführt. Diese Einführung wird an dieser Stelle aufgegriffen. Es wird gezeigt, dass die Laplace-Transformation die Herleitung des Blockschaltbildes vereinfacht und dass die Struktur in Abschnitt 3.5.1 Beschreibung von Systemen mit Blockdiagrammen nicht die einzige Art ist, ein System mit Blockschaltbildern zu beschreiben. Ausgangspunkt ist wieder die Systembeschreibung mit einer Differentialgleichung der Form
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(5.74)
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Es handelt sich um ein kausales System mit N ≥ M. Um die Herleitung übersichtlich zu halten, wird zunächst von verschwindenden Anfangsbedingungen ausgegangen. Transformation der Gleichung in den Laplace-Bereich führt zu
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(5.75)
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Division der Gleichung durch die höchste Potenz von s
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(5.76)
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und Auflösen der Gleichung nach Y(s) führt zu dem Ausdruck
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(5.77)
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Gleichung (5.77) entspricht Gleichung (3.138) abgesehen davon, dass die eine Gleichung im Zeitbereich und die andere Gleichung im Laplace-Bereich dargestellt ist. Da im Laplace-Bereich die Integration in eine Division durch s entspricht, ist die Darstellungsform in Gleichung (5.152) übersichtlicher.
Um ein kanonisches Blockschaltbild herzuleiten, werden Terme mit gleicher Potenz von s zusammengefasst.
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(5.78)
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Das Schachteln von Ausdrücken 1/s führt zu der Darstellung
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(5.79)
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Für die Berechnung werden N Integrierer benötigt. Es handelt sich demnach um die mathematische Beschreibung eines kanonischen Blockschaltbildes. Die Anfangsbedingungen werden als Initial Condition bei den Integrierern berücksichtigt. Bild 5.8 zeigt das entsprechende Blockschaltbild.
Bild 5.8: Kanonisches Blockschaltbild eines linearen, zeitinvarianten Systems
Die kanonischen Blockschaltbilder Bild 3.28 und Bild 5.8 repräsentieren dasselbe System mit N Integrierern auf unterschiedliche Art. Der wesentliche Unterschied liegt darin, dass unterschiedliche Zustandsvariablen verwendet werden. In Bild 3.28 werden das Ausgangssignal y(t) und N - 1 Ableitungen des Ausgangssignals als Zustandsgrößen verwendet. In Bild 5.8 wird eine Kombination von Ausgangsgröße y(t) und ihrer Ableitung als Zustandsgrößen definiert. Daraus resultiert unter anderem eine unterschiedliche Definition der Anfangszustände für die Integrierer. Die unterschiedlichen Darstellungen von Systemen werden bei der Zustandsraumdarstellung in Kapitel 10 Darstellung von Systemen im Zustandsraum wieder aufgegriffen.
Die beiden Blockschaltbilder haben gemeinsam, dass sie über Integrierer realisiert werden. Für die Simulation oder allgemein die Realisierung von Systemen wird die Übertragungsfunktion deshalb mit Integrieren dargestellt.
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(5.80)
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Für die Interpretation der Systemeigenschaften ist die Form
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(5.81)
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zweckmäßiger, da sie direkt aus der Differentialgleichung folgt und die direkte Berechnung der Pole und Nullstellen erlaubt.
Beispiel: Beschreibung eines Feder-Masse-Dämpfer-Systems als Blockdiagramm im Laplace-Bereich
Der Umgang mit Anfangsbedingungen wird an einem Feder-Masse-Dämpfer-System veranschaulicht, das zum Zeitpunkt t = 0 die Auslenkung x0 und die Geschwindigkeit v0 besitzt. Eingangsgröße ist die Kraft FE(t), Ausgangsgröße ist die Auslenkung x(t).
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(5.82)
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Transformation der Gleichung in den Laplace-Bereich führt unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen zu
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(5.83)
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Division der Gleichung durch s2.
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(5.84)
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und Auflösen der Gleichung nach X(s) ergibt
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(5.85)
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Das System ist in Bild 5.9 als Blockschaltbild dargestellt.
Bild 5.9: Kanonisches Blockschaltbild eines Feder-Masse-Dämpfer-Systems
Die Anfangszustände der Integrierer ergeben sich aus Gleichung (5.85).
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