Ausgehend von der allgemeinen Differentialgleichung
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(5.52) |
beziehungsweise der Summenformel
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(5.53) |
wird die Beschreibung im Laplace-Bereich hergeleitet. Um generelle Eigenschaften des Systems zu charakterisieren, werden wie bei der Berechnung der Impuls- und Sprungantwort in Abschnitt 3.3.3 Sprung- und Impulsantwort eines Systems alle Anfangsbedingungen zu null gesetzt. Im Laplace-Bereich geht die Differentialgleichung (5.53) über in
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(5.54) |
Ausklammern der Funktionen Y(s) und U(s), und Auflösen nach Y(s) führt zu
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(5.55) |
Dabei wird G(s) als komplexe Übertragungsfunktion des Systems bezeichnet. Unter der Annahme, dass das System zum Zeitpunkt t = 0 energiefrei ist, charakterisiert G(s) das lineare System vollständig. Die Übertragungsfunktion stellt im Laplace-Bereich das Verhältnis von Wirkung zu Ursache dar.
Bild 5.7: Systembeschreibung im Laplace-Bereich mit einer Übertragungsfunktion
Weisen Zähler- und Nennerpolynom dieselben Nullstellen auf, werden die entsprechenden Linearfaktoren gekürzt. Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass die Übertragungsfunktion G(s) keine gemeinsamen Pole und Nullstellen mehr besitzt.
Ein Feder-Masse-Dämpfer-System wird mit der Differentialgleichung
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(5.56) |
beschrieben. Die Übertragungsfunktion ergibt sich mit verschwindenden Anfangsbedingungen aus der Laplace-Transformation
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(5.57) |
zu
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(5.58) |
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