Übertragungsfunktion linearer, zeitinvarianter Systeme

Impuls- und Sprungantwort

Nach den Rechenregeln der Laplace-Transformation entspricht der Faltung zweier Funktionen im Zeitbereich die Multiplikation ihrer Laplace-Transformierten im Laplace-Bereich. Das Ausgangssignal eines linearen, zeitinvarianten Systems berechnet sich im Zeitbereich zu

(5.59)

Entsprechend gilt im Laplace-Bereich

(5.60)

Aus dem Vergleich der Darstellung im Laplace- und Zeitbereich wird deutlich, dass die Übertragungsfunktion G(s) die Laplace-Transformierte der Impulsantwort g(t) ist. Um diesen Zusammenhang herzuleiten, kann alternativ auch die Systemantwort eines energiefreien Systems berechnet werden, das mit einem Impuls u(t) = δ(t) angeregt wird. Dazu wird in Gleichung (5.55) die Laplace-Transformierte der Impulsfunktion U(s) = 1 eingesetzt.

(5.61)

Die Laplace-Transformierte des Ausgangssignals eines energiefreien Systems, das mit einer Impulsfunktion angeregt wird, entspricht der Übertragungsfunktion. Der Zusammenhang bestätigt, dass die Übertragungsfunktion G(s) die Laplace-Transformierte der Impulsantwort g(t) ist. Übertragungsfunktion G(s) und Impulsantwort beschreiben ein System abgesehen von gegebenenfalls vorhandenen Anfangsbedingungen vollständig.

(5.62)

An Gleichung (5.55) kann auch die Laplace-Transformierte der Sprungantwort abgelesen werden. Mit u(t) = σ(t) ergibt sich
U(s) = 1/s. Damit lautet die Systemantwort auf einen Sprung am Eingang und verschwindenden Anfangsbedingungen

(5.63)

Mit Gleichung (5.63) kann die bereits bekannte Beziehung zwischen Sprung- und Impulsantwort hergeleitet werden. Die Sprungantwort im Zeitbereich ergibt sich nach dem Integrationssatz der Laplace-Transformation aus dem zeitlichen Integral der Impulsantwort.

(5.64)

Für Systeme, deren Sprungantwort gegen einen Grenzwert konvergiert, kann der Grenzwert für h(t) für t → ∞ mit dem Grenzwertsatz der Laplace-Transformation berechnet werden zu

(5.65)

Es kann gezeigt werden, dass die notwendige Konvergenzbedingung genau dann erfüllt ist, wenn das System stabil ist. Tabelle 5.2 fasst die Zusammenhänge von Impuls- und Sprungantwort zusammen.

Tabelle 5.2: Übersicht zum Zusammenhang von Impuls- und Sprungantwort

Eigenschaft	Zeitbereich	Bildbereich
Impulsantwort
Sprungantwort
Stationäre Verstärkung

Beispiel: Impulsantwort und Übertragungsfunktion eines RC-Netzwerkes

Als Beispiel wird das Einschaltverhalten des RC-Netzwerkes aus Bild 3.2 berechnet. Die Ausgangsspannung des RC-Netzwerkes wird über die Differentialgleichung

(5.66)

beschrieben. Die Transformation in den Laplace-Bereich bei verschwindenden Anfangsbedingungen

(5.67)

führt zu der Übertragungsfunktion

(5.68)

Eine Rücktransformation in den Zeitbereich führt zu der in Abschnitt 3.3.3 Sprung- und Impulsantwort eines Systems berechneten Impulsantwort

(5.69)

Die stationäre Verstärkung des Systems ergibt sich aus

(5.70)

Sie muss mit dem Grenzwert der Sprungantwort für t → ∞ übereinstimmen. Aus der Laplace-Transformierten

(5.71)

ergibt sich die Sprungantwort

(5.72)

mit dem Grenzwert

(5.73)

Die stationäre Verstärkung des Systems und der Grenzwert h(t) für t → ∞ stimmen überein.

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