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Konstruktion von Bode-Diagrammen

In Abschnitt 7.2.3 Bode-Diagramme wird der Aufbau von Bode-Diagrammen beschrieben. Ausgehend von der Übertragungsfunktion eines stabilen Systems

(9.180)

kann der Frequenzgang direkt angegeben werden zu

(9.181)

Die Bildung des Betrags führt zu einem Amplitudengang von

(9.182)

Wegen der logarithmischen Darstellung in Dezibel wird der Ausdruck umgerechnet in

(9.183)

Durch das Logarithmieren des Amplitudengangs geht das Produkt aus Übertragungsfunktionen in eine Summe über. Der Logarithmus des Amplitudengangs a(ω) setzt sich aus der Summe der Logarithmen der einzelnen Teil-Amplitudengänge zusammen. Analog ergibt sich für die Phase des Systems der Zusammenhang

(9.184)

Auch die Phase des Gesamtsystems setzt sich aus der Phase der einzelnen Teil-Übertragungsfunktionen zusammen. Da die Amplituden- und Phasengänge typischer Übertragungsglieder in Abschnitt 9.2 Elementare Übertragungsglieder und in Abschnitt 9.3 Zusammengesetzte Übertragungsglieder beschrieben sind, kann das Bode-Diagramm eines Systems, das aus mehreren Übertragungsgliedern zusammengesetzt ist, durch Überlagerung dieser Amplituden- und Phasengänge bestimmt werden.

Die diskutierten Übertragungsglieder besitzen nur im Nenner Linearfaktoren. Weist die Übertragungsfunktion Teilübertragungsfunktionen der Form

(9.185)

auf, werden sie als inverse PT1-Glieder behandelt. Sie haben den Amplitudengang

(9.186)

und für K > 0 den Phasengang

(9.187)

Gegenüber dem PT1-Glied sind Amplituden- und Phasengang an der Frequenzachse gespiegelt. Die Konstruktionsregeln des Amplituden- und Phasengangs bleiben ansonsten erhalten. Dieses Verfahren gilt sinngemäß auch für inverse PT2-Glieder. Handelt es sich bei dem System um ein nichtminimalphasiges System, ist die Darstellung des Systems als Reihenschaltung von minimalphasigem System und Allpass sinnvoll.

Beispiel: Konstruktion eines Bode-Diagramms

Für ein System mit der Übertragungsfunktion

(9.188)

soll ein Bode-Diagramm erstellt werden. Dazu wird das System auf die diskutierten Übertragungsglieder zurückgeführt.

(9.189)

Es handelt sich um die Reihenschaltung eines invertierenden Integrierers, eines PD-Glieds, eines PT1-Glieds und eines Allpasses.

Bild 9.60: Amplituden- und Phasengang der Teilsysteme

Wegen der Reihenschaltungen addieren sich die Amplitudengänge der Teilsysteme zum Amplitudengang des Gesamtsystems und die Phasengänge der Teilsysteme zu dem Phasengang des Gesamtsystems. Sie sind in Bild 9.61 dargestellt.

Bild 9.61: Amplituden- und Phasengang des Gesamtsystems

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Neben der hier dargestellten Konstruktion von Bode-Diagrammen wird in der Regelungstechnik ein alternatives Verfahren eingesetzt, bei dem die Konstruktion direkt auf Basis der Grenzfrequenzen und dem Verhalten für ω → 0 und ω → ∞ erfolgt. Es ist zum Beispiel in [Giro05] beschrieben.