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Funktionen zur Beschreibung von Einschwingvorgängen

Periodische und harmonische Funktionen

Periodische Funktionen sind dadurch gekennzeichnet, dass sich der Funktionswert periodisch nach einer Zeitdauer T0 wiederholt. Bild 2.22 zeigt ein einfaches periodisches Signal.

Bild 2.22: Beispiel für ein periodisches Signal mit einer Periodendauer T0 = 2 s

Für periodische Funktionen und ganzzahlige Werte k gilt:

(2.64)

Neben den bereits diskutierten Testfunktionen, die das Ein-, Aus- oder Umschalten modellieren, sind in der Systemtheorie periodische, harmonische Signale von großer Bedeutung. Als Beispiel soll hier eine Kosinusfunktion diskutiert werden. Sie ist definiert als

(2.65)

mit

(2.66)

wobei A die Amplitude der Schwingung, φ der Nullphasenwinkel und ω0 die Kreisfrequenz ist.

(2.67)

Die Frequenz f0 der Funktion x(t) ist der Kehrwert der Periodendauer T0 der Schwingung.

(2.68)

Bild 2.23 verdeutlicht diese Definitionen an einem Beispiel:

Bild 2.23: Kosinusfunktion mit einer Periodendauer T0 = 10 s, einer Amplitude von 5 V und einem Nullphasenwinkel von - 2/5⋅π

In dem Beispiel beträgt die Amplitude 5 V. Die Kosinusfunktion hat zwei aufeinanderfolgende Minima bei t = - 3 s und t = 7 s, woraus sich eine Periodendauer von T0 = 10 s ergibt. Die Nullphase φ ist nicht unmittelbar aus dem Diagramm ablesbar. Über die zeitliche Verzögerung von t0 = - 2 s

(2.69)

kann der Nullphasenwinkel φ berechnet werden zu

(2.70)

Überlagerung harmonischer Signale

Harmonische Signale mit Nullphasenwinkel können mithilfe der Additionstheoreme als Summe von einer Sinus- und einer Kosinusfunktion dargestellt werden.

(2.71)

(2.72)

(2.73)

(2.74)

Eine Kosinusfunktion mit dem Nullphasenwinkel φ kann also als Summe einer Kosinus- und Sinusfunktion mit Nullphasenwinkel φ = 0 dargestellt werden.

(2.75)

wobei sich deren Amplituden durch einen Koeffizientenvergleich ergeben zu

(2.76)

(2.77)

Umgekehrt können eine Kosinus- und eine Sinusfunktion gleicher Frequenz addiert werden zu einer resultierenden Schwingung mit Amplitude A und Nullphasenwinkel φ:

(2.78)

Dabei ergeben sich Amplitude und Nullphasenwinkel aus

(2.79)

(2.80)

Aus einer Überlagerung von Sinus- und Kosinusfunktionen gleicher Frequenz resultiert eine Sinus- oder Kosinusfunktion mit derselben Frequenz, aber unterschiedlicher Amplitude und Nullphase.

Zeigerdarstellung harmonischer Signalen

In der Elektrotechnik hat sich für die Berechnung von harmonisch angeregten Schaltungen die Zeigerdarstellung durchgesetzt. Sie beruht auf der Eulerschen Formel.

(2.81)

Damit kann eine Kosinusfunktion der Form

(2.82)

als Realteil einer komplexen Funktion

(2.83)

aufgefasst werden. Diese mathematische Darstellung kann durch einen Zeiger der Länge A verdeutlicht werden, der in der komplexen Ebene um den Koordinatenursprung rotiert. Die Zeit für eine volle Umdrehung ist die Periodendauer T0. Die eigentlich interessierende Größe ist die Projektion des Zeigers auf die reelle Achse, sie stellt die Funktion x(t) dar. Zum Zeitpunkt t = 0 gilt

(2.84)

A wird als komplexe Amplitude der komplexen Funktion z(t) bezeichnet. Ein Vergleich der Koeffizienten mit Gleichung (2.75) zeigt,, dass die komplexe Amplitude A dargestellt werden kann, als

(2.85)

Zur Verdeutlichung der komplexen Amplitude A zeigt Bild 2.24 eine Zeigerdarstellung in der komplexen Ebene. Sie illustriert die Projektion des komplexen Zeigers auf die reelle Achse als Zeitfunktion x(t).

Bild 2.24: Darstellung einer harmonischen Schwingung als Zeigerdiagramm

Darstellung harmonischer Signale als Überlagerung komplexer Schwingungen

Durch Umformung von Gleichung (2.81) ergibt sich für Sinus- und Kosinusfunktionen die Darstellung

(2.86)

(2.87)

Werden in Gleichung (2.78) die reellen Sinus- und Kosinusfunktionen durch Summen komplexer Funktionen nach Gleichung (2.86) und (2.87) ersetzt, so ergibt sich

(2.88)

Der erste Summand beschreibt einen komplexen Zeiger, der sich in der komplexen Ebene mit einer Periodendauer T0 in mathematisch positiver Richtung dreht. Der zweite Summand beschreibt einen zweiten komplexen Zeiger, der zu jedem Zeitpunkt konjugiert komplex zum Ersten ist. Er dreht sich mit derselben Winkelgeschwindigkeit wie der erste Zeiger, aber in entgegengesetzter Richtung.

Aus den komplexen Koeffizienten

(2.89)

(2.90)

errechnen sich die Amplitude A und der Nullphasenwinkel φ zu

(2.91)

(2.92)

Die komplexe Exponentialfunktion stellt reelle Funktionen mithilfe komplexer Zahlen dar. Es ist eine effiziente Beschreibungsform, die gleichermaßen Amplitude und Phase beschreibt. Physikalisch gesehen existieren komplexe Signale nicht.