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Funktionsalgebra

Die Berechnung des Ausgangssignals eines linearen Systems kann auf bekannte Ausgangssignale zurückgeführt werden, wenn sich das Eingangssignal auf die entsprechenden Eingangssignale zurückführen lässt. Dieses Prinzip wird in Abschnitt 3.3.4 Berechnung der Systemantwort durch Superposition eingeführt. Zur Anwendung des Superpositionsprinzips ist es notwendig, Signale mithilfe der in diesem Abschnitt dargestellten Funktionsalgebra umrechnen zu können.

Operationen mit kontinuierlichen Funktionen

Für die Umrechnung von Signalen sind mathematische Operationen notwendig. Die wichtigsten elementaren Operationen sind im Folgenden zusammengefasst.

Skalierung der Amplitude

Das Signal a⋅x(t) ist gegenüber dem Signal x(t) verstärkt (a > 1) beziehungsweise gedämpft (0 < a < 1). Bild 2.15 zeigt ein Signal x(t) und das um einen Faktor 2 verstärkte Signal 2⋅x(t).

Bild 2.15: Darstellung eines Signals x(t) und eines verstärkten Signals 2⋅x(t)

Zeitliche Verschiebung

Das Signal x(t - t0) ist gegenüber dem Signal x(t) nach rechts (t0 > 0) beziehungsweise nach links (t0 < 0) verschoben. Bild 2.16 zeigt ein Signal x(t) und ein um t0 = 5 nach rechts verschobenes Signal x(t - 5).

Bild 2.16: Darstellung eines Signals x(t) und des um t0 = 5 nach rechts verschobenen Signals x(t - 5)

Das Vorgehen wird am einfachsten deutlich, wenn über das Argument der Funktion argumentiert wird. Die Funktion x(t) weist zum Zeitpunkt t = 3 den Funktionswert 0 auf. Da in dem Zeitargument der Funktion x(t - 5) das Argument um 5 verringert wird, weist die Funktion x(t - 5) erst an der Stelle t = 8 den entsprechenden Funktionswert auf.

Zeitliche Spiegelung

Die Spiegelung eines Signals x(t) an der Stelle t = 0 kann mathematisch durch den Ausdruck x(- t) dargestellt werden. Bild 2.17 zeigt ein Signal x(t) und das gespiegelte Signal x(- t).

Bild 2.17: Darstellung eines Signals x(t) und des an t = 0 gespiegelten Signals x(t)

Auch hier kann über das Zeitargument der Funktion argumentiert werden. Die Funktion x(t) weist zum Zeitpunkt t = 1 den Funktionswert 8 auf. Die Funktion x(- t) besitzt denselben Funktionswert an der Stelle t = - 1.

Zeitliche Skalierung

Das Signal x(a⋅t) ist gegenüber dem Signal x(t) gestaucht (a > 1) beziehungsweise gedehnt (0 < a < 1). Bild 2.18 zeigt ein Signal x(t) und ein Signal x(2⋅t).

Bild 2.18: Darstellung eines Signals x(t) und eines gestauchten Signals x(2⋅t)

Auch Stauchung und Dehnung werden am einfachsten deutlich, wenn über das Zeitargument der Funktion x(a⋅t) argumentiert wird.