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Normierung von Signalen

In den Beispielen der vorangegangenen Abschnitte sind die Einheiten der Signale mitgeführt. Das hat den Vorteil, dass durch eine Umrechnung der Einheiten eine Konsistenzprüfung durchgeführt werden kann. In komplexeren Anwendungen und Beispielen steigt der Aufwand für das Mitführen von Einheiten aber schnell an. Durch eine Normierung der physikalischen Größen lassen sich die Ausdrücke oft stark vereinfachen. Dieser Vorteil wird jedoch durch die nicht mehr mögliche Plausibilisierung der Rechenergebnisse anhand von Einheiten erkauft. Als Hintergrundinformation für das Rechnen ohne Einheiten wird die Methode der Normierung von Signalen vorgestellt. Sie teilt sich in zwei Schritte auf:

Amplitudennormierung

Bei der Amplitudennormierung werden alle Signale als dimensionsloses Vielfaches einer Bezugsgröße ausgedrückt. Die einfachste Art der Normierung ist der Bezug der jeweiligen Größe auf die SI-Einheit. Wegen der Kohärenz des SI-Einheitensystems bleibt bei dieser Art der Normierung der Zahlenwert aller Größen gleich. Die Normierung physikalischer Größen mit den jeweiligen SI-Einheiten ist einfach, die dabei entstehenden Größen sind jedoch oft unhandlich.

Zeitnormierung

Eine Zeitnormierung bedeutet, dass alle Zeitangaben als dimensionsloses Vielfaches einer Bezugszeit ausgedrückt werden. Insbesondere bei Systemen, die in festen Zeitintervallen abgetastet werden, bietet sich eine Zeitnormierung mit dieser Abtastzeit an.

Die Amplituden- und Zeitnormierung von Signalen hat auch Konsequenzen für die Bauelemente, was im Folgenden für elektrische Systeme hergeleitet wird. Der Index N wird bei dieser Darstellung für normierte Größe verwendet. Eine Amplitudennormierung mit der Spannung U0 beziehungsweise dem Strom I0 führt zu einer normierten Spannung UN

(2.97)

beziehungsweise einem normierten Strom IN

(2.98)

Eine Zeitnormierung normiert die Zeit t auf eine Bezugszeit T0, und es ergibt sich eine normierte Zeit tN

(2.99)

Mit der Normierung der Zeit geht auch eine Normierung der Frequenz einher. Die normierte Frequenz fN berechnet sich aus

(2.100)

Aus der Normierung von Amplituden und Zeit ergibt sich eine Normierung der Bauelemente. Unmittelbar deutlich wird das an dem ohmschen Widerstand R.

(2.101)

Ein normierter ohmscher Widerstand RN berechnet sich damit aus

(2.102)

In einer vergleichbaren Weise könnte hergeleitet werden, was die Normierung für Induktivität und Kapazität bedeutet. Besonders anschaulich wird dies bei der Umrechnung von Zeitkonstanten eines RC-Glieds.

(2.103)

Die Kapazität C berechnet sich durch Umstellen der Gleichung zu

(2.104)

Die normierte Kapazität CN beträgt damit

(2.105)

Eine vergleichbare Herleitung führt zu der normierten Induktivität

(2.106)

Beispiel: Normierung RC-Glied

Die Normierung von Größen soll anhand des RC-Netzwerks aus Bild 2.28 durchgeführt werden.

Bild 2.28: Beispiel RC-Netzwerk, normierte und nicht normierte Darstellung

 

Die Kapazität hat einen Wert von C = 1 µF und der Widerstand beträgt R = 1 kΩ. Das System wird normiert mit den Größen

(2.107)

(2.108)

(2.109)

Die normierten Bauelemente haben damit die Werte

(2.110)

und

(2.111)

Das Ersatzschaltbild des normierten Systems ist in Bild 2.28 rechts dargestellt.

Zusammenfassung Schritte zur Normierung von Signalen

Im Folgenden werden Beispiele normiert berechnet, um die Darstellung kompakter zu halten. Nur in Einzelfällen werden die Einheiten zur Herleitung von Zeitkonstanten, Grenzfrequenzen oder anderen charakteristischen Größen mitgeführt. Die Schritte zur Normierung von Signalen sind in Tabelle 2.6 zusammengefasst.

Tabelle 2.6: Schritte zur Normierung von Signalen
Normierung Mathematische Beschreibung
Amplitudennormierung
Zeitnormierung

In der Regelungstechnik wird statt der hier dargestellten Normierung von Signalen eine Skalierung vorgenommen. Bei der Skalierung werden die Amplituden der Signale geeignet normiert, eine Zeitnormierung findet nicht statt.