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Rechnen mit Sprung- und Impulsfunktion

Allgemein

Die Beschreibung und Interpretation von Systemen kann unter anderem über die Systemreaktion auf standardisierte Eingangssignale erfolgen. Deshalb werden in diesem Abschnitt Sprung- und Impulsfunktionen vorgestellt, weitere Funktionen daraus abgeleitet und das Rechnen mit Impulsfunktionen vertieft.

Sprungfunktion

Die Sprungfunktion σ(t) ist abschnittsweise definiert als

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Für den Zeitpunkt t = 0 existieren in der Literatur unterschiedliche Definitionen. Im Hinblick auf diskrete Signale wird hier für den Zeitpunkt t = 0 der Funktionswert σ(t = 0) = 1 gewählt. Bild 2.6 stellt die Sprungfunktion grafisch dar.

Bild 2.6: Sprungfunktion σ(t)

Bei der Diskussion der Sprungstelle wird oftmals von rechtsseitigem und linksseitigem Grenzwert gesprochen. Der linksseitige Grenzwert wird als x(0-) bezeichnet. Er hat den Wert der Funktion kurz vor dem Sprung x(0-) = 0. Der rechtsseitige Grenzwert wird als x(0+) bezeichnet. Er hat den Wert der Funktion kurz nach dem Sprung x(0+) = 1.

Die Sprungfunktion wird zum Beispiel dafür verwendet, Einschaltvorgänge zu beschreiben. Die Sprungfunktion ist zeitlich nicht begrenzt, und sie ist kein Energiesignal. Wegen ihrer konstanten Amplitude ist die Bedingung für ein Leistungssignal erfüllt. Da die Sprungfunktion für t < 0 null ist, ist sie eine kausale Funktion.