Lösung linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

Entsprechend den Ausführungen im letzten Abschnitt errechnet sich die Systemantwort des RC-Netzwerks auf einen Spannungssprung am Eingang des Systems zu

Das Ausgangssignal ist von der Anfangsspannung u_A(0) abhängig. Ist diese Spannung u_A(0) = 0, ist die in dem Kondensator gespeicherte Energie null, das System ist energiefrei. Die Reaktion eines energiefreien Systems auf eine sprungförmige Anregung s(t) wird als Sprungantwort h(t) bezeichnet.

Bild 3.16: Sprungantwort h(t) und Impulsantwort g(t) als Ausgangssignal eines energiefreien LTI-Systems

Für das Beispiel des RC-Netzwerks ergibt sich die Antwort auf einen Sprung der Höhe U_E0 = 1 mit der Bedingung u_A(0) = 0 zu

Wie bereits in Bild 3.16 dargestellt ist die Impulsantwort g(t) eines Systems die Reaktion eines energiefreien Systems auf eine Anregung mit einem Impuls δ(t). Im Kapitel Signale wird gezeigt, dass die Impulsfunktion δ(t) als Ableitung der Sprungfunktion σ(t) gedeutet werden kann.

Für lineare, zeitinvariante Systeme ergibt sich die Systemreaktion auf einen Impuls am Eingang aus der Ableitung der Sprungantwort.

Bei bekannter Sprungantwort h(t) kann mit Gleichung (3.94) die Impulsantwort g(t) durch Ableiten bestimmt werden. Zum Beispiel ergibt sich die Systemantwort eines RC-Netzwerks auf einen Impuls mit dem Gewicht U_E0 = 1 mit der Produktregel zu