Das Vorgehen bei der Diskreten-Fourier-Transformierten wird am Beispiel einer Rechteckfolge veranschaulicht. Sie besteht aus acht von null verschiedenen Abtastwerten und wird im Zeitraum von 0 … 15·TA beobachtet. Außerhalb dieses Zeitraums ist die Folge null. Dadurch entspricht das gefensterte Signal xW[k] dem Signal x[k].
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Die Frequenzen, an denen die Diskrete-Fourier-Transformierte berechnet wird, ergeben sich mit dem Index n = 0 … 15 zu
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(11.14) |
Die Diskrete-Fourier-Transformierte errechnet sich an diesen Stellen zu
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Die Berechnung muss nicht unbedingt als analytische Rechnung ausgeführt werden, sie kann wegen der endlichen Summe auch numerisch erfolgen. Das Signal und der Betrag des Spektrums sind in Bild 11.1 dargestellt.
Bild 11.1: Rechteckfolge und ihre Diskrete-Fourier-Transformierte
Die Diskrete-Fourier-Transformierte soll mit dem Spektrum X(Ω) verglichen werden, das sich aus der Fourier-Transformation der Folge ergibt.
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Beide Spektren sind in Bild 11.2 dargestellt. Die periodische Fortsetzung der Diskreten-Fourier-Transformierten und die Fourier-Transformierte der Folge sind an den Punkten Wn identisch. Allerdings liefert die Diskrete-Fourier-Transformierte nicht den bislang interpretierten Frequenzbereich von - π … π sondern das Spektrum im Bereich von 0 … 2⋅π. Wegen der Periodizität der Fourier-Transformierten können die Darstellungen jedoch ineinander überführt werden.
Bild 11.2: Spektrum der Rechteckfolge berechnet über Fourier-Transformation und Diskrete-Fourier-Transformation
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