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Entwurf nichtrekursiver Filter (FIR-Filter)

Approximation des Frequenzgangs

In Abschnitt 10.3.1 Impulsinvarianter Filterentwurf von FIR-Filtern werden FIR-Filter ausgehend von der Impulsantwort eines idealen Filters bestimmt. Der Umweg über den Zeitbereich ist nicht zwingend erforderlich. Alternativ können die Koeffizienten des Filters aus der inversen Fourier-Transformation für Signalfolgen bestimmt werden. Nach den Ausführungen in Kapitel 7 Spektrum von Signalfolgen gilt

(10.41)

Dabei ist die Impulsantwort g[k] nicht zwingend kausal und besitzt außerdem eine unendlich große Länge. Um diese beiden Einschränkungen zu umgehen, wird die Impulsantwort für den Bereich - N/2 ≤ k ≤ N/2 berechnet und anschließend um k0 = N/2 nach rechts verschoben. Da der Wert k0 ein ganzzahliger Wert sein muss, lassen sich mit dem hier beschriebenen Verfahren nur FIR-Filter gerader Ordnung implementieren. Das Verfahren wird an dem Beispiel aus href="teil-b-zeitdiskrete-signale-und-systeme/entwurf-zeitdiskreter-filter/entwurf-rekursiver-filter-iir-filter/impulsinvarianter-filterentwurf-von-iir-filtern.html">Abschnitt 10.3.1 Impulsinvarianter Filterentwurf von FIR-Filtern verdeutlicht, bei dem ein Filter mit einer Grenzfrequenz von ωG = 1000 rad/s mit einer Abtastzeit von TA = 1 ms und eine Ordnung N = 8 realisiert werden soll. Die Grenzfrequenz ωG entspricht der normierten Grenzfrequenz ΩG = ωG⋅TA= 1. Damit berechnen sich die Koeffizienten g[k] zu

(10.42)

Damit die Impulsantwort kausal wird, wird sie um N/2 = 4 verschoben, und es ergibt sich

(10.43)

Bis auf den Proportionalitätsfaktor 1/TA entspricht die Impulsantwort der Impulsantwort in Gleichung (10.35), die nach dem impulsinvarianten Verfahren bestimmt wird. Beide Verfahren führen damit zu derselben Filterfunktion. Tabelle 10.2 fasst das Vorgehen zum Entwurf von FIR-Filtern über die Approximation des Frequenzgangs zusammen.

Tabelle 10.2: Vorgehen zum Entwurf von FIR-Filtern über die Approximation des Frequenzgangs
Schritt Beschreibung
1 Definition des idealen Frequenzgangs G(W)
2 Bestimmung der N + 1 Werte der Impulsantwort g[k] für - N/2 ≤ k ≤ N/2
3 Verschiebung der Impulsantwort um k 0 = N/2 zur Generierung einer kausalen Impulsantwort
4 Berechnung der Übertragungsfunktion
5 Aufstellen der Differenzengleichung durch Rücktransformation der Gleichung G(z) in den Zeitbereich