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Entwurf nichtrekursiver Filter (FIR-Filter)

Fensterfunktionen zur Verbesserung der Filtercharakteristik

Bei der Berechnung der Impulsantwort gw[k] wird die Impulsantwort g(t) abgetastet und mit einer Fensterfunktion w[k] multipliziert.

(10.44)

Nach den Rechenregeln zur Fourier-Transformation für Signalfolgen in Abschnitt 7.2.9 ergibt sich bei Multiplikation zweier Signalfolgen im Zeitbereich eine Faltung der jeweiligen Spektren im Frequenzbereich.

(10.45)

Durch die Faltung des Spektrums G(W) mit dem Spektrum der Fensterfunktion W(Ω) wird der Frequenzgang verändert. Wäre das Fenster w[k] konstant und unendlich lang, ergäbe sich für das Spektrum W(Ω) eine periodische Impulsfolge δ(Ω - k⋅2⋅π). Im Frequenzbereich - π ≤ Ω ≤ π liegt der Impuls an der Stelle Ω = 0. Die Faltung eines Spektrums mit einem Impuls an der Stelle Ω = 0 verändert das Spektrum nicht, sodass ein Filter mit einer unendlich langen Impulsantwort gw[k] zu dem eigentlich gewünschten Frequenzgang G(Ω) führen würde. Mit dieser Forderung ist allerdings bei der Implementierung ein unendlich hoher Rechenaufwand verbunden, sodass dieser Ansatz ausscheidet. Deshalb ist das Ziel, eine Fensterung zu finden, die bei einer endlichen Länge der Fensterfunktion w[k] ein möglichst schmales Spektrum besitzt, das der Impulsfunktion möglichst nahe kommt.

Zur Diskussion unterschiedlicher Fensterfunktionen ist in Bild 10.15 das Spektrum des Rechteck-Fensters dargestellt.

Bild 10.15: Kriterien zur Bewertung von Spektrum von Fensterfunktionen

Das Spektrum besteht aus einem Hauptschwinger (Main-Lobe) und den Nebenschwingern (Side-Lobes). Die Spektren realer Fensterfunktionen haben eine endliche Breite des Hauptmaximums, und es existieren Nebenmaxima, die endlich hohe Amplituden aufweisen. Zur Charakterisierung von Fensterfunktionen werden folgende Bewertungskriterien verwendet.

  • Breite des Hauptmaximums Die Breite des Hauptmaximums ist der Frequenzbereich zwischen Ω = 0 und dem ersten Nulldurchgang des Spektrums ΩS. Eine gute Fensterfunktion hat eine geringe Breite des Hauptmaximums, da dadurch bei der Faltung das Spektrum der gefensterten Funktion weniger stark verbreitert wird.

  • Relative Amplitude des ersten Nebenmaximums Die relative Amplitude des Nebenmaximums ist das Verhältnis von Maximum des Nebenmaximums ASL zu dem Hauptmaximum AML. Die relative Amplitude wird in dB angegeben.

(10.46)

Zielwert ist eine geringe Höhe des Nebenmaximums, also eine kleine relative Amplitude des Nebenmaximums.

Mit der Bestimmung des idealen Fensters beschäftigen sich viele Veröffentlichungen. Es zeigt sich, dass ein ideales Fenster nicht existiert, sondern dass ein Kompromiss zwischen endlicher Breite und relativer Amplitude des Nebenmaximums eingegangen werden muss. Einige Fenster werden im Folgenden beschrieben. Dabei wird zur Vereinfachung der Darstellung von einer Fensterfunktion ausgegangen, die symmetrisch zum Zeitpunkt k = 0 liegt. Diese Fenster sind nicht kausal, können aber durch eine Zeitverschiebung in kausale Fenster überführt werden.

Rechteckfenster

Das Rechteckfenster wird bei gerader Filterordnung N im Zeitbereich über die Gleichung

(10.47)

beschrieben und hat als Spektrum den sogenannten Dirichlet-Kern

(10.48)

Das Rechteckfenster und der normierte Amplitudengang sind in Bild 10.16 dargestellt.

Bild 10.16: Rechteckfenster und Spektrum des Rechteckfensters für N = 20

Das Hauptmaximum des Rechteckfensters hat eine Breite von ΩS = 2路p/N. Die relative Amplitude des Nebenmaximums beträgt aREL = - 13 dB.

Dreieck- oder Bartlett-Fenster

Das Dreieckfenster wird im Zeitbereich über die Gleichung

(10.49)

beschrieben und hat das Spektrum

(10.50)

Das Dreieckfenster und der normierte Amplitudengang sind in Bild 10.17 dargestellt.

Bild 10.17: Dreieckfenster und Spektrum des Dreieckfensters für N = 20

Das Hauptmaximum des Dreieckfensters hat eine Breite von ΩS = 4路p/N. Die relative Amplitude des Nebenmaximums beträgt aREL = - 25 dB.

Hann-Fenster

Auch das Hann-Fenster weist am Beginn und am Ende der Beobachtungszeit keine Sprünge auf, sondern geht an diesen Punkten gegen den Wert 0. Der stetige Übergang wird mit einer Kosinusfunktion beschrieben.

(10.51)

Die Fensterfunktion ergibt sich aus dem Produkt von Rechteckfenster und der Kosinusfunktion. Das Spektrum des Hann-Fensters kann über die Faltungsoperation berechnet werden. Es ergibt sich zu

(10.52)

Das Hann-Fenster und sein Spektrum sind in Bild 10.18 dargestellt.

Bild 10.18: Hann-Fenster und Spektrum des Hann-Fensters für N = 20

Das Hauptmaximum des Hann-Fensters hat eine Breite von ΩS = 4路p/N und ist damit doppelt so breit wie bei dem Rechteckfenster. Die relative Amplitude des Nebenmaximums ist mit aREL = - 32 dB deutlich größer als bei dem Rechteckfenster.

Hamming-Fenster

Hamming- und Hann-Fenster unterscheiden sich nur geringfügig in der Definition.

(10.53)

Auch die Berechnung des Spektrums der beiden Fensterfunktionen ist ähnlich. Für das Hamming-Fenster ergibt sich das Spektrum

(10.54)

Das Hamming-Fenster und sein Spektrum sind in Bild 10.19 dargestellt.

Bild 10.19: Hamming-Fenster und Spektrum des Hamming-Fensters für N = 20

Das Hauptmaximum des Hamming-Fensters hat eine Breite von ΩS = 4路p/N. Die relative Amplitude des Nebenmaximums beträgt mit aREL = - 42 dB und ist nochmals deutlich größer als bei dem Hann-Fenster.

Vergleich der Fensterfunktionen

Tabelle 10.3 stellt die berechneten Kennwerte der unterschiedlichen Fenster zusammen.

Tabelle 10.3: Tabellarischer Vergleich der Kennwerte unterschiedlicher Fensterfunktionen
Fenster- Funktion Breite des Hauptmaximums W S Relative Amplitude der Nebenmaxima a REL
Rechteck 2路p / N - 13 dB
Dreieck 4路p / N - 25 dB
Hann 4路p / N - 32 dB
Hamming 4路p / N - 42 dB

Die Daten zeigen, dass es eine ideale Fensterfunktion nicht gibt. Das Spektrum des Rechteckfensters ist schmal, aber es weist vergleichsweise hohe Nebenmaxima auf. Demgegenüber haben die Spektren von Hann- und Hamming-Fenster relativ kleine Nebenmaxima, die Hauptmaxima sind aber breiter als bei dem Rechteckfenster. Für praktische Anwendungen bietet das Hamming-Fenster einen guten Kompromiss zwischen Breite des Hauptmaximums und relativer Amplitude des Nebenmaximums.

Beispiel: Entwicklung eines Tiefpass-Filters mit Hamming-Fenster

Das Verfahren wird an dem Beispiel eines Tiefpass-Filters mit einer Grenzfrequenz von ωG = 1000 rad/s und einer Abtastzeit von TA = 1 ms angewendet. Die Ordnung des Filters wird auf N = 12 festgelegt. Damit ergibt sich eine Gruppenlaufzeit TG = t0 = 6 ms.

(10.55)

Die Impulsantwort g[k] wird mit dem um k = 6 nach rechts verschobenen Hamming-Fenster multipliziert, und es ergibt sich die gefensterte Impulsantwort

(10.56)

Bild 10.20 vergleicht die Impulsantworten für die Filterentwürfe mit Rechteck- und Hamming-Fenster miteinander.

Bild 10.20: Impulsantworten der Filterentwürfe mit Rechteck- und Hamming-Fenster im Vergleich, Tiefpassfilter mit einer Grenzfrequenz ωG = 1 krad/s, N = 12

Die überlagerte Fensterfunktion des Hamming-Fensters verändert die Filterkoeffizienten. Anfangswert gw[0] und Endwert gw[12] werden dadurch zu null. Aus der Impulsantwort kann direkt die Übertragungsfunktion bestimmt werden. Das mit dem Hamming-Fenster entwickelte System hat die Übertragungsfunktion

(10.57)

Da FIR-Systeme immer stabil sind, ergibt sich der Frequenzgang zu

(10.58)

Die zu den Impulsantworten gehörenden Frequenzgänge werden in Bild 10.21 miteinander verglichen.

Bild 10.21: Filterentwurf mit Rechteck- und Hamming-Fenster im Vergleich, Tiefpassfilter mit einer Grenzfrequenz ωG = 1 krad/s, N = 12

Es wird deutlich, dass durch den Einsatz des Hamming-Fensters die Welligkeit deutlich kleiner ist als bei dem Rechteckfenster. Dies betrifft sowohl den Durchlass als auch den Sperrbereich des Filters. Dafür weist das Rechteckfenster einen deutlich steileren Übergang zwischen Durchlass- und Sperrbereich auf. Auch die Phasengänge unterscheiden sich, sind aber beide linear. Die Gruppenlaufzeit ist mit TG = 6 ms für beide Entwürfe identisch.