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Entwurf nichtrekursiver Filter (FIR-Filter)

Impulsinvarianter Filterentwurf von FIR-Filtern

In Abschnitt 10.1 Definition idealer Filter über den Amplitudengang werden die Frequenzgänge und Impulsantworten idealer Filter diskutiert. Sie sind Ausgangspunkt für den impulsinvarianten Entwurf von FIR-Filtern. Der Entwurf wird am Beispiel eines Tiefpass-Filters hergeleitet. Mit den bekannten Frequenzgängen und Impulsantworten von Hochpass, Bandpass und Bandsperre kann das Verfahren auf die anderen Filtertypen übertragen werden.

Der Frequenzgang des zeitkontinuierlichen idealen Tiefpasses mit einer Grenzfrequenz ωG ist definiert über seinen Amplitudengang

(10.30)

und seine lineare Phase

(10.31)

Die Impulsantwort des zeitkontinuierlichen idealen Tiefpass-Filters ergibt sich aus den Rechenregeln zur Fourier-Transformation und den angegebenen Korrespondenzen zu

(10.32)

Amplitudengang und Impulsantwort des idealen zeitkontinuierlichen Tiefpass-Filters sind in Bild 10.10 dargestellt.

Bild 10.10: Impulsantwort des idealen zeitkontinuierlichen Tiefpass-Filters mit einer Grenzfrequenz ωG = 1000 rad/s

Damit das Filter als zeitdiskretes FIR-Filter mit linearer Phase realisiert werden kann, müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:

  • Die Impulsantwort g[k] muss kausal sein.

  • Die Impulsantwort muss endlich sein.

  • Die Impulsantwort muss eine geeignete Symmetrie aufweisen.

Die ersten beiden Bedingungen werden über das Ausschneiden der Impulsantwort g(t) über eine Fensterfunktion w(t) erreicht, die zu Zeitpunkt t = 0 beginnt und zum Zeitpunkt T endet. Wegen der Achsensymmetrie der Impulsantwort kann die Bedingung nach Symmetrie erfüllt werden, wenn die Fensterung des Signals an der Stelle T = 2⋅t0 endet.

(10.33)

Damit muss ein zeitdiskretes Filter der Ordnung N bestimmt werden, das an N + 1 Abtastwerten der Impulsantwort dieselben Werte aufweist wie die Impulsantwort des entsprechenden zeitkontinuierlichen Filters. Die Vorgehensweisen zur Bestimmung der Koeffizienten bi des Filters sind davon abhängig, ob die Filterordnung gerade oder ungerade ist. Beide Varianten werden an einem Beispiel verdeutlicht, bei dem ein Filter mit einer Grenzfrequenz von ωG = 1000 rad/s mit einer Abtastzeit von TA = 1 ms realisiert werden soll.

Gerade Filterordnung

Für eine gerade Filterordnung N werden N + 1 Abtastwerte in das Intervall von 0 ≤ t ≤ 2⋅t0 gelegt. Damit gilt für die Zeit t0 die Bedingung

(10.34)

Für das oben beschriebene Beispiel ergibt sich bei einer Filterordnung N = 8 die Zeit t0 = 4⋅TA = 4 ms, und die Abtastwerte der Impulsantwort berechnen sich für k = 0 … 8 zu

(10.35)

Bild 10.11 stellt die Abtastwerte für das oben beschriebene Beispiel bei einem impulsinvarianten Filterentwurf und einer geraden Filterordnung von N = 8 dar.

Bild 10.11: Abtastwerte bei einem impulsinvarianten Filterentwurf und gerader Filterordnung N = 8

Aus der Impulsantwort g[k] kann die Übertragungsfunktion G(z)

(10.36)

und der Frequenzgang des Filters

(10.37)

bestimmt werden. Bild 10.12 stellt Amplituden- und Phasengang des Filters dar. Zum besseren Vergleich des Ergebnisses mit der Spezifikation werden Amplituden- und Phasengang als Funktion der Kreisfrequenz ω und nicht der normierten Kreisfrequenz Ω dargestellt.

Bild 10.12: Amplituden- und Phasengang des entworfenen FIR-Filters bei einem impulsinvarianten Filterentwurf und gerader Filterordnung N = 8

Das Filter erfüllt weitgehend das Spezifikationsziel, an der definierten Grenzfrequenz ωG = 1000 rad/s beträgt der Amplitudengang A(ωG) = 0.5, das erste Nebenmaximum hat eine Höhe von AN = 0.118. Der Phasengang ist abgesehen von Sprüngen um Δφ = - π an den Stellen, an denen der Amplitudengang Nullstellen aufweist, linear.

Die Differenzengleichung ergibt sich wie bei den Filterentwürfen zuvor aus der Rücktransformation der Übertragungsgleichung G(z) in den Zeitbereich.

 

Ungerade Filterordnung

Auch bei ungerader Filterordnung N werden N + 1 Abtastwerte in das Intervall von 0 ≤ t ≤ 2⋅t0 gelegt. Damit gilt für die Zeit t0 die Bedingung

(10.38)

Die Zeit t0 ist damit selbst kein Abtastwert mehr. Für das oben beschriebene Beispiel ergibt sich bei einer Filterordnung N = 9 die Zeit t0 = 4.5⋅TA = 4.5 ms, und die Abtastwerte der Impulsantwort berechnen sich für k = 0 … 9 zu

(10.39)

Bild 10.11 stellt die Abtastwerte für das oben beschriebene Beispiel bei einem impulsinvarianten Filterentwurf und einer ungeraden Filterordnung von N = 9 dar.

Bild 10.13: Abtastwerte bei einem impulsinvarianten Filterentwurf und ungerader Filterordnung N = 9

Aus der Impulsantwort g[k] kann wieder die Übertragungsfunktion G(z) und der Frequenzgang des Filters G(Ω) bestimmt werden.

Bild 10.14: Vergleich des Amplituden- und Phasengangs der entworfenen FIR-Filter bei einem impulsinvarianten Filterentwurf mit den Ordnungen N = 8 und N = 9

Erwartungsgemäß ist das Filter der Ordnung N = 9 steiler als das Filter der Ordnung N = 8. Die Güte der Approximation des idealen Amplitudengangs wächst mit der Ordnung des Filters. Andererseits führt eine Steigerung der Filterordnung zu einem steileren Phasengang und damit zu einer höheren Gruppenlaufzeit. Die Gruppenlaufzeit TG steigt mit wachsender Filterordnung linear an.

(10.40)

Die Differenzengleichung ergibt sich wie bei den Filterentwürfen zuvor aus der Rücktransformation der Übertragungsgleichung G(z) in den Zeitbereich.

Zusammenfassung zum impulsinvarianten Entwurf von FIR-Filtern

Tabelle 10.1 fasst das Vorgehen zum impulsinvarianten Entwurf von FIR-Filtern zusammen. Dabei wird davon ausgegangen, dass die Filterordnung N und die Abtastzeit TA vorgegeben sind.

Tabelle 10.1: Vorgehen zum impulsinvarianten Entwurf von FIR-Filtern
Schritt Beschreibung
1 Bestimmung der Impulsantwort g(t) des idealen Filters, Beispiel Tiefpass
2 Bestimmung der Zeitverschiebung t 0 aus Filterordnung N und Abtastzeit T A
3 Bestimmung der N + 1 Werte der Impulsantwort g[k]
4 Berechnung der Übertragungsfunktion
5 Aufstellen der Differenzengleichung durch Rücktransformation der Gleichung G(z) in den Zeitbereich

Alternativ zu dem hier skizzierten Verfahren, bei dem die Gruppenlaufzeit TG = t0 über die Filterordnung N und die Abtastzeit TA bestimmt wird, ist auch die Vorgabe anderer Randbedingungen wie Gruppenlaufzeit und Filterordnung denkbar. Das Verfahren bleibt in diesen Fällen ähnlich.