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Entwurf rekursiver Filter (IIR-Filter)

Bei dem Entwurf rekursiver zeitdiskreter Filter wird versucht, das Verhalten eines zeitkontinuierlichen Systems mit einem zeitdiskreten System nachzubilden. Dieses Ziel kann im Zeit- und Frequenzbereich verfolgt werden und wird in Kapitel 9 Zeitdiskrete Approximation zeitkontinuierlicher Systeme behandelt. Die dort dargestellten Verfahren werden kurz zusammengefasst und an einem Butterworth-Tiefpass dritter Ordnung diskutiert.

Impulsinvarianter Filterentwurf von IIR-Filtern

Der Filterentwurf für zeitkontinuierliche Systeme in Teil A - Zeitkontinuierliche Signale und Systeme führt zu kausalen stabilen Systemen, die einfache reelle und konjugiert komplexe Polpaare besitzen. Da der Zählergrad der Übertragungsfunktion bei realisierbaren Systemen kleiner oder gleich dem Nennergrad ist, lässt sich die Übertragungsfunktion als Summe einzelner Partialbrüche darstellen.

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Diese Darstellung führt nach einigen Umformungen (Abschnitt 9.1.1) zu der Übertragungsfunktion des zeitdiskreten Systems.

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Beispiel: Impulsinvarianter Entwurf eines zeitdiskreten Butterworth-Tiefpass

In Teil A - Zeitkontinuierliche Signale und Systemey wird ein Butterworth-Filter 3. Ordnung mit einer Grenzfrequenz fG = 10 kHz und einer maximalen Durchlassdämpfung von - 3 dB entworfen. Das System besitzt die Übertragungsfunktion

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Das Filter soll zeitdiskret auf einem System umgesetzt werden, das mit einer Abtastrate von fA = 100 kHz arbeitet. Nach Gleichung (9.5) ergibt sich die z-Transformierte G(z) zu

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Mit der indirekt angegebenen Abtastzeit von TA = 10-5 s und der Grenzfrequenz ωG = 2⋅π⋅10 kHz ergibt sich das Produkt

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und die Übertragungsfunktion G(z) berechnet sich zu

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Bild 10.4 stellt das Pol-Nullstellendiagramm für das impulsinvariant entworfene Butterworth-Filter dar.

Bild 10.4: Pol-Nullstellendiagramm für das impulsinvariant entworfene Butterworth-Filter dritter Ordnung

Die Pole liegen erwartungsgemäß im Inneren des Einheitskreises, das System ist demnach stabil. Die Verstärkung des zeitdiskreten Systems ist im Gegensatz zu dem Verstärkungsfaktor des zeitkontinuierlichen Systems ungleich eins. Er errechnet sich zu

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Bei einem direkten Vergleich der beiden Systeme muss mit diesem Faktor entsprechend normiert werden. Der Frequenzgang G(Ω) berechnet sich zu

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Bild 10.5 zeigt den normierten Frequenzgang des zeitdiskreten Systems im linearen Maßstab im Vergleich zu dem Frequenzgang des zeitkontinuierlichen Systems.

Bild 10.5: Frequenzgang des impulsinvariant entworfenen Butterworth-Filters dritter Ordnung

Der Amplitudengang ist für das zeitdiskrete und das zeitkontinuierliche Filter identisch. Die 3dB-Grenzfrequenz des zeitdiskreten Filters beträgt 10 kHz und stimmt mit der 3-dB-Grenzgfrequenz des zeitkontinuierlichen Filters überein. Da der Amplitudengang für Ω = π nahe null ist, wirkt sich die periodische Wiederholung nicht auf das Basisband aus. Der Phasengang stimmt bis zu der Frequenz Ω = π/2 gut überein. Bei größeren Frequenzen führt die periodische Wiederholung des Phasengangs zu einem Phasenanstieg.

Mit der Übertragungsfunktion G(z) kann das Filter als Differenzengleichung realisiert werden. Ausgehend von der Übertragungsfunktion ergibt sich nach der Division von Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von z die Gleichung

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und damit die Differenzengleichung

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Bild 10.6 stellt die Impuls- und Sprungantwort des zeitdiskreten Systems im Vergleich zum zeitkontinuierlichen System dar. Wieder werden die zeitdiskreten Signale entsprechend normiert.

Bild 10.6: Impuls- und Sprungantwort für das impulsinvariant entworfene Butterworth-Filter dritter Ordnung

 

Charakteristisch für den impulsvarianten Entwurf ist das Übereinstimmen der zeitkontinuierlichen und der zeitdiskreten Impulsantwort. Da die Sprungantwort im zeitkontinuierlichen Bereich über ein Integral und im zeitdiskreten Bereich über eine Summe gebildet wird, sind sie trotz identischer Impulsantwort unterschiedlich.