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Interpretation des Phasengangs eines Systems und linearer Phasengang

Bedingung für eine lineare Phase

In Abschnitt 8.3.2 Variation des Abstandes der Nullstelle vom Koordinatenursprung wird der Frequenzgang zeitdiskreter Systeme mit gebrochen rationaler Übertragungsfunktion diskutiert. Er setzt sich aus den Frequenzgängen einzelner Linearfaktoren zusammen. Liegen die Nullstellen dieser Linearfaktoren auf dem Einheitskreis, sind die zugehörigen Phasengänge linear zur Frequenz Ω. Frequenzgänge von FIR-Systemen weisen demnach einen linearen Phasengang auf, wenn sich alle Nullstellen der Übertragungsfunktion auf dem Einheitskreis befinden.

Die Forderung, dass die Nullstellen der Übertragungsfunktion auf dem Einheitskreis liegen müssen, kann in eine Symmetrieforderung an die Koeffizienten der Übertragungsfunktion umgeformt werden. Dazu werden Übertragungsfunktionen mit symmetrischen und punktsymmetrischen Koeffizienten sowie gerader und ungerader Ordnung diskutiert. Bild 8.18 stellt die Impulsantworten von FIR-Filtern mit gerader oder ungerader Ordnung und achsensymmetrischer oder punktsymmetrischer Impulsantwort dar.

Bild 8.18: Impulsantworten von FIR-Filtern mit gerader oder ungerader Ordnung und achsensymmetrischer oder punktsymmetrischer Impulsantwort

Alle vier Varianten werden im Folgenden analysiert. Es wird sich zeigen, dass sie alle einen linearen Phasengang aufweisen.

FIR-Systeme gerader Ordnung mit achsensymmetrischer Impulsantwort

Im Fall einer geraden Filterordnung N und einer achsensymmetrischen Impulsantwort gilt die Beziehung

(8.93)

Für Filter mit endlicher Impulsantwort ergibt sich die Übertragungsfunktion direkt aus der Impulsantwort zu

(8.94)

Aufgrund der Stabilität von FIR-System ergibt sich der Frequenzgang durch die Substitution z = ejΩ zu

(8.95)

Der zweite Faktor in Gleichung (8.95) ist reell und kann positive und negative Werte annehmen. Da er stetig in Ω ist, weist er im Punkt seines Vorzeichenwechsels einen Betrag von null auf. Damit besitzt der Frequenzgang G1(Ω) eine abschnittsweise lineare Phase, die bei Vorzeichenwechseln des Frequenzgangs um π springt. An diesen Stellen ist aber der Betrag der Übertragungsfunktion null. Das Filter weist damit im gesamten Durchlassbereich eine lineare Phase auf. Als Beispiel wird das in Bild 8.18 als g1[k] bezeichnete Filter mit der Impulsantwort

(8.96)

betrachtet. Bild 8.19 stellt Amplituden- und Phasengang des Filters dar.

Bild 8.19: Amplituden- und Phasengang eines FIR-Filters mit gerader Ordnung und achsensymmetrischer Impulsantwort

Da der Frequenzgang reell ist und kein Vorzeichenwechsel stattfindet, ist der Phasengang im Bereich von - π ≤ Ω ≤ π linear.

FIR-Systeme gerader Ordnung mit punktsymmetrischer Impulsantwort

Im Fall einer geraden Filterordnung N und einer punktsymmetrischen Impulsantwort gilt die Beziehung

(8.97)

Die Übertragungsfunktion berechnet sich zu

(8.98)

Der Frequenzgang ergibt sich durch die Substitution z = ejΩ.

(8.99)

Der zweite Faktor in Gleichung (8.99) ist reell und kann positive und negative Werte annehmen. Damit besitzt der
Frequenzgang G2(Ω) eine abschnittsweise lineare Phase, die bei Vorzeichenwechseln des Frequenzgangs um π springt. Als Beispiel wird das in Bild 8.18 als g2[k] bezeichnete Filter mit der Impulsantwort

(8.100)

betrachtet. Bild 8.20 stellt Amplituden- und Phasengang des Filters dar.

Bild 8.20: Amplituden- und Phasengang eines FIR-Filters mit gerader Ordnung und punktsymmetrischer Impulsantwort

Der Frequenzgang wird für Ω = 0 zu null, und es findet ein Vorzeichenwechsel statt. Deshalb springt der Phasengang an dieser Stelle um π.

FIR-Systeme ungerader Ordnung mit achsensymmetrischer Impulsantwort

Im Fall einer ungeraden Filterordnung N und einer achsensymmetrischen Impulsantwort gilt die Beziehung

(8.101)

Die Übertragungsfunktion berechnet sich unter Berücksichtigung der Symmetriebedingung zu

(8.102)

Der Frequenzgang ergibt sich durch die Substitution z = ejΩ.

(8.103)

Der zweite Faktor in Gleichung (8.103) ist reell und kann positive und negative Werte annehmen. Damit besitzt der Frequenzgang G3(Ω) eine abschnittsweise lineare Phase, die an einigen Stellen um π springt. Als Beispiel wird das in Bild 8.18 als g3[k] bezeichnete Filter mit der Impulsantwort

(8.104)

betrachtet. Bild 8.21 stellt Amplituden- und Phasengang des Filters dar.

Bild 8.21: Amplituden- und Phasengang eines FIR-Filters mit ungerader Ordnung und achsensymmetrischer Impulsantwort

FIR-Systeme ungerader Ordnung mit punktsymmetrischer Impulsantwort

Im Fall einer ungeraden Filterordnung N und einer punktsymmetrischen Impulsantwort gilt die Beziehung

(8.105)

Die Übertragungsfunktion berechnet sich unter Berücksichtigung der Symmetriebedingung zu

(8.106)

Der Frequenzgang ergibt sich durch die Substitution z = ejΩ.

(8.107)

Der zweite Faktor in Gleichung (8.108) ist reell und kann positive und negative Werte annehmen. Damit besitzt der Frequenzgang G4(Ω) eine abschnittsweise lineare Phase, die an einigen Stellen um π springt. Als Beispiel wird das das in Bild 8.18 als g4[k] bezeichnete Filter mit der Impulsantwort

(8.108)

betrachtet. Bild 8.22 stellt Amplituden- und Phasengang des Filters dar.

Bild 8.22: Amplituden- und Phasengang eines FIR-Filters mit gerader Ordnung und punktsymmetrischer Impulsantwort

Zusammenfassung FIR-Systeme mit linearer Phase

Tabelle 8.1 fasst die Bedingungen zusammen, unter denen FIR-Systeme eine lineare Phase aufweisen.

Tabelle 8.1: Bedingungen für Systeme mit linearer Phase
Kriterium Bedingung
Lage der Nullstellen im Pol-Nullstellen-Diagramm Alle Nullstellen auf dem Einheitskreis
Symmetrie der Impulsantwort

FIR-Systeme gerader Ordnung mit achsensymmetrischer Impulsantwort

FIR-Systeme gerader Ordnung mit punktsymmetrischer Impulsantwort

FIR-Systeme ungerader Ordnung mit achsensymmetrischer Impulsantwort

FIR-Systeme ungerader Ordnung mit punktsymmetrischer Impulsantwort