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Ideale Abtastung und ideale Rekonstruktion

Abtasttheorem nach Shannon

In den vorangegangenen Abschnitten wird gezeigt, dass sich das Spektrum eines abgetasteten Signals periodisch mit der Abtastfrequenz ωA fortsetzt. Diese periodische Wiederholung ist Grundlage für die Herleitung des Abtasttheorems nach Shannon.

Gegeben sei ein bandbegrenztes Signal x(t), das abgetastet werden soll. Durch die Physik des Systems ist die Bandbreite des Signals auf Frequenzen ω ≤ ωG begrenzt. Bei der Abtastung des Signals wird das Spektrum der Zeitfunktion, wie in Bild 2.7 dargestellt, periodisch in ωA wiederholt. Durch eine hier ideal angenommene Tiefpass-Funktion kann das sogenannte Basisband, also das ursprüngliche Spektrum der Zeitfunktion, isoliert werden. Bild 2.7 verdeutlicht den Filterprozess.

Ist die Abtastzeit TA zu groß, wird ωA zu klein und die einzelnen Spektren der abgetasteten Funktion überlagern sich. Signalverzerrungen, die sich beim Abtasten durch Überlagerung der Spektren ergeben, werden als Aliasing bezeichnet. Damit die einzelnen Spektren voneinander getrennt bleiben, muss nach Bild 2.7 die Bedingung

(2.15)

beziehungsweise

(2.16)

erfüllt sein. Dieses Ergebnis wird als Abtasttheorem bezeichnet. Die Abtastfrequenz ωA muss mindestens doppelt so groß sein wie die Bandbreite ωG des abzutastenden Signals. Damit muss für die Abtastzeit TA gelten:

(2.17)

Bild 2.10 zeigt die Spektren abgetasteter Signale für genügend große Abtastfrequenz, gerade ausreichende und zu kleine Abtastfrequenz.

Im ersten Fall XA1(ω) wird mit einer Abtastfrequenz gearbeitet, die deutlich größer ist als das Abtasttheorem vorschreibt. Dieser Fall wird als Oversampling bezeichnet. Durch die hohe Abtastfrequenz werden das Spektrum im Basisband und die nächsthöheren Spektren deutlich voneinander getrennt, sodass mit einem Tiefpass-Filter mit vergleichsweise flachem Übergang zwischen Sperr- und Durchlass-Bereich gearbeitet werden kann.

Im zweiten Fall XA2(ω) wird das Abtasttheorem gerade eingehalten. Es zeigt sich aber, dass die Rekonstruktion nur mit einem idealen Tiefpass-Filter erfolgen kann, der technisch nicht realisiert werden kann. Dieser Fall entspricht dem theoretischen Grenzfall des Abtasttheorems.

Im Fall einer zu kleinen Abtastfrequenz XA3(ω) überlagern sich die Spektren. Das Signal kann selbst mit einem idealen Tiefpass-Filter nicht fehlerfrei rekonstruiert werden. Es kommt zu Signalverzerrungen oder Aliasing.

Bild 2.10: Spektren abgetasteter Signale für genügend große Abtastfrequenz XA1(ω), gerade ausreichende Abtastfrequenz XA2(ω) und für zu kleine Abtastfrequenz XA3(ω)

Beispiel: Abtastrate einer Sound-Karte

Sound-Karten von Computern besitzen einen Analog-Digital-Wandler (ADC). Er wandelt das analoge Signal in ein digitales Signal um. Bei Sound-Karten ist zum einen die Auflösung des ADC wichtig, da sie die Quantisierungsfehler und damit das Rauschen bestimmt. Zweiter wesentlicher Faktor ist die Abtastrate.

Bild 2.11: Surround Sound-Karte für Personal Computer

Eine Abtastfrequenz fA = 44 kHz ermöglicht die Aufnahme und Wiedergabe bis zu einer theoretischen Bandbreite von

(2.18)

Mit der Sound-Karte können damit Musiksignale mit einer maximalen Frequenz von 22 kHz verarbeitet werden.