Ideale Abtastung und ideale Rekonstruktion

Das Abtasttheorem geht davon aus, dass das Signal bandbegrenzt ist. Reale Signale haben in praktischen Anwendungen aber im Allgemeinen keine harte Bandbegrenzung. Vielmehr ergibt sich ihre Bandbreite aus dem Tiefpassverhalten des Systems, das das Signal generiert, und dem Spektrum von überlagerten Störungen. Um den Einfluss der mangelhaften Bandbegrenzung zu reduzieren, kann ein analoger Tiefpass wie zum Beispiel ein RC-Glied zur Filterung eingesetzt werden. Er verhindert, dass sich in dem Spektrum höhere Frequenzanteile befinden als erwartet, und reduziert damit den Einfluss von Störungen. Das Tiefpass-Filter wird aufgrund seiner Funktion als Anti-Aliasing-Filter bezeichnet. Die Wirkung des Anti-Aliasing-Filters wird in Bild 2.12 veranschaulicht.

Bild 2.12: Wirkung des Anti-Aliasing-Filters auf die Bandbegrenzung des Spektrums X(ω) des Signals x(t)

Das Signal x(t) hat ein Spektrum, dessen Information im Nutzbereich - ω_N < ω < ω_N liegt. Es besitzt aber zum Beispiel aufgrund von Störungen ein breiteres Spektrum. Damit existieren auch oberhalb der als maximal angenommenen Bandbreite ω_G Spektralanteile. Durch den Einsatz eines Tiefpass-Filters, das den Frequenzbereich ω < - ω_N und den Bereich ω > ω_N dämpft, ergibt sich bei dem neu entstandenen Signal ein Spektrum X_TP(ω), das im Nutzbereich dem des ursprünglichen Signals entspricht, im übrigen Bereich aber stärker gedämpft ist. Dieses Signal kann wegen der geringeren Bandbreite ω_GTP < ω_G mit einer geringeren Frequenz abgetastet werden und der Rauschanteil wird durch die Bandbegrenzung reduziert.

In technischen Anwendungen wird deshalb praktisch immer ein Eingangstiefpass eingesetzt, dass das Spektrum des Eingangssignals auf die notwendige Bandbreite begrenzt. Die Spezifikation von Filtern und ihr Entwurf werden im Teil A dieser Buchreihe diskutiert.