Ideale Abtastung und ideale Rekonstruktion
Ideale Rekonstruktion eines Signals
Da bei der idealen Abtastung das Spektrum eines Signals periodisch wiederholt und mit dem Faktor 1/TA multipliziert wird, liegt es auf der Hand, die Wiederholung des Spektrums durch eine entsprechende Filterung zu eliminieren. Durch eine hier ideal angenommene Tiefpass-Funktion mit einer Bandbreite von ωA/2 kann das sogenannte Basisband, also das ursprüngliche Spektrum der Zeitfunktion, isoliert werden. Bild 2.7 verdeutlicht den Filterprozess.
Bild 2.7: Rekonstruktion des Spektrums der Zeitfunktion durch ideale Tiefpass-Filterung, idealisierte Tiefpass-Funktion gestrichelt dargestellt
Mathematisch gesehen muss das Spektrum mit einer idealen Tiefpass-Filterfunktion und dem Faktor TA multipliziert werden. Das Spektrum ergibt sich damit zu
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Die ideale Rekonstruktion kann auch im Zeitbereich durchgeführt werden. Der Multiplikation im Frequenzbereich entspricht im Zeitbereich die Faltung der entsprechenden Zeitfunktionen. Die Impulsantwort gTP(t) der Filterfunktion GTP(ω) ist nach den Rechenregeln der Fourier-Transformation
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Die Funktion ist in Bild 2.8 dargestellt. Zum Zeitpunkt t = 0 ist die Funktion 1, zu den Zeitpunkten k⋅TA ist die Funktion null.
Bild 2.8: Impulsantwort des idealen Tiefpass-Filters zur Rekonstruktion
Das Signal x(t) berechnet sich über das Faltungsintegral. Da die Faltung einer Funktion x(t) mit einem Impuls an der Stelle t0 die Funktion an die Stelle x(t - t0) verschiebt, ergibt sich
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Das Signal setzt sich aus der Summe von Termen gTP(t) zusammen, die jeweils um k⋅TA verschoben sind und mit dem Gewicht x(k⋅TA) multipliziert werden. Bild 2.9 stellt die Rekonstruktion im Zeitbereich dar.
Bild 2.9: Rekonstruktion eines ideal abgetasteten Signals im Zeitbereich
Das Ergebnis der Überlagerung ist erwartungsgemäß die ursprüngliche Zeitfunktion x(t).
