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Ideale Abtastung und ideale Rekonstruktion

Für die systemtheoretische Behandlung der digitalen Signalverarbeitung ist es erforderlich, die Abtastung und die Rekonstruktion des Signals mathematisch ideal zu beschreiben. Aus dieser Beschreibung wird anschließend das Abtasttheorem hergeleitet.

Mathematische Beschreibung der idealen Abtastung

Um die Abtastung eines Signals mathematisch beschreiben zu können, wird eine sogenannte Abtastfunktion a(t) definiert. Da bei der idealen Abtastung Werte des analogen Signals zu diskreten Zeitpunkten erfasst werden, bietet sich eine Folge von Impulsen als Abtastfunktion an. Diese Abtastfunktion a(t) ist mathematisch definiert als

(2.6)

Die Abtastfunktion wird mit dem analogen Signal x(t) multipliziert. Da die Impulsfolge nur zu den Zeitpunkten k⋅TA ungleich null ist, genügt es, die Funktion x(t) nur zu diesen Zeitpunkten zu betrachten. Es ergibt sich als Darstellung für das ideal abgetastete Signal xA(t)

(2.7)

Bild 2.5 verdeutlicht die mathematische Beschreibung der Signale grafisch. Dabei werden die unendlich großen Impulse als Pfeile dargestellt, ihre Höhe repräsentiert das Gewicht des jeweiligen Impulses.

Bild 2.5: Darstellung der Signale im idealen Abtastprozess

Wird dieser Vorgang im Frequenzbereich betrachtet, wird deutlich, dass durch das Abtasten das Spektrum des Signals periodisch wird. Im Zeitbereich wird das Signal x(t) mit der Abtastfunktion a(t) multipliziert. Der Multiplikation im Zeitbereich entspricht eine Faltung im Frequenzbereich. Damit muss im Frequenzbereich das Spektrum des Signals X(ω) mit dem Spektrum der Abtastfunktion A(ω) gefaltet werden. Hierfür wird zunächst das Spektrum der Abtastfunktion errechnet.

(2.8)

Die Gleichung kann als Fourier-Reihe dargestellt werden (vgl. Übungsaufgabe 2.7.6) und in den folgenden Ausdruck umgeformt werden

(2.9)

Dies bedeutet, dass die Abtastfunktion auch im Frequenzbereich einer Impulsfolge entspricht, wobei der Abstand der Impulse proportional zur Abtastfrequenz

(2.10)

ist. Über die Faltungsbeziehung ergibt sich für die abgetastete Funktion xA(t) im Frequenzbereich

(2.11)

Die Abtastung mit einer idealen Impulsreihe führt demnach zu einer in ωA periodischen Fortsetzung des Spektrums X(ω) des kontinuierlichen Zeitsignals x(t) und zu einer Multiplikation mit dem Faktor 1/TA. Bild 2.6 stellt die Spektren im idealen Abtastprozess schematisch dar.

Bild 2.6: Darstellung der Spektren im idealen Abtastprozess

Die periodische Wiederholung des Spektrums ist dafür verantwortlich, dass die Abtastwerte von zu langsam abgetasteten Signalen mit den Frequenzen f0 und f0 + n⋅fA nicht unterschieden werden können. Die mathematische Herleitung bestätigt damit den in Bild 2.4 dargestellten Sachverhalt.

Der ursprüngliche Frequenzbereich des Signals x(t) mit dem Frequenzbereich - ωG ≤ ω ≤ ωG wird als Basisband des Signals bezeichnet. Durch den Abtastvorgang wird das Basisband periodisch in ωA wiederholt.