Reale Abtastung und Rekonstruktion

Die zuvor vorgestellte ideale Abtastfunktion a(t) ist nicht realisierbar, da ideale Impulse technisch nicht erzeugt werden können. Dies liegt an der unendlich kurzen Dauer sowie der unendlichen Steilheit und Höhe von Impulsen. Aus dieser Überlegung ergeben sich die reale Abtastung und die reale Rekonstruktion von Signalen.

Reale beziehungsweise technisch realisierbare Abtastsysteme brauchen eine Wandlungszeit T_W, um aus dem analogen Signal ein zeitdiskretes Signal zu generieren. Die Wandlungszeit ergibt sich zum Beispiel aus einem Ladungstransport oder einem Approximationsprozess, bei dem das Signal als Mittelwert über einen Zeitraum T_W durch Integration bestimmt wird. Dieser Prozess wird mit einer Fensterfunktion

modelliert. Die Abtastfunktion ist keine Impulsfolge mehr, sondern eine Folge von Rechtecken. Für die mathematische Beschreibung ist es wesentlich, dass die Fläche jedes einzelnen Rechteckes der Fläche eines Impulses entspricht und damit zu eins wird. Bei einer Breite von T_W ist deshalb die Höhe der Rechtecke 1/T_W. Das an der Stelle t = 0 liegende Rechteck kann damit als Zeitfunktion w(t) dargestellt werden. Zum Zeitpunkt k⋅T_A ergibt sich der aktuelle Abtastwert zu

Bild 2.14 verdeutlicht das Vorgehen für eine Wandlungszeit T_W = 0.5⋅T_A.

Bild 2.14: Darstellung des realen Abtastprozesses

Wegen der Symmetrie der Fensterfunktion kann der Ausdruck unter Berücksichtigung der Faltungsoperation umgeformt werden zu

Der Faltung zweier Zeitsignale entspricht im Bildbereich die Multiplikation der Spektren.

Durch die Berechnung des Abtastwertes über das Integral in Gleichung (2.23) wird das Spektrum X(ω) mit dem Spektrum der Fensterfunktion

multipliziert. Das real abgetastete Signal x_AW(t) kann mit diesen Überlegungen dargestellt werden als

Es besitzt das Spektrum

Wie bei der idealen Abtastung wird das Spektrum mit 1/T_A skaliert und periodisch in ω_A wiederholt. Allerdings wird das Spektrum des zeitkontinuierlichen Signals vor der periodischen Wiederholung mit dem Spektrum der Fensterfunktion multipliziert. Dieser Vorgang wird in Bild 2.15 für eine Wandlungszeit T_W = T_A und T_W = 0.1⋅T_A dargestellt. Die Auswirkung auf das Spektrum im Basisband steigt mit steigender Wandlungszeit. In Analog-Digital-Wandlern wird der Effekt durch den Einsatz inverser Filter kompensiert.

Bild 2.15: Darstellung des Spektrums eines realen Abtastprozesses für unterschiedliche Wandlungszeiten T_W = T_A und T_W = 0.1⋅T_A