Seite ausdrucken | Fenster schließen


Reale Abtastung und Rekonstruktion

Die zuvor vorgestellte ideale Abtastfunktion a(t) ist nicht realisierbar, da ideale Impulse technisch nicht erzeugt werden können. Dies liegt an der unendlich kurzen Dauer sowie der unendlichen Steilheit und Höhe von Impulsen. Aus dieser Überlegung ergeben sich die reale Abtastung und die reale Rekonstruktion von Signalen.

Reale Abtastung eines Signals

Reale beziehungsweise technisch realisierbare Abtastsysteme brauchen eine Wandlungszeit TW, um aus dem analogen Signal ein zeitdiskretes Signal zu generieren. Die Wandlungszeit ergibt sich zum Beispiel aus einem Ladungstransport oder einem Approximationsprozess, bei dem das Signal als Mittelwert über einen Zeitraum TW durch Integration bestimmt wird. Dieser Prozess wird mit einer Fensterfunktion

(2.22)

modelliert. Die Abtastfunktion ist keine Impulsfolge mehr, sondern eine Folge von Rechtecken. Für die mathematische Beschreibung ist es wesentlich, dass die Fläche jedes einzelnen Rechteckes der Fläche eines Impulses entspricht und damit zu eins wird. Bei einer Breite von TW ist deshalb die Höhe der Rechtecke 1/TW. Das an der Stelle t = 0 liegende Rechteck kann damit als Zeitfunktion w(t) dargestellt werden. Zum Zeitpunkt k⋅TA ergibt sich der aktuelle Abtastwert zu

(2.23)

Bild 2.14 verdeutlicht das Vorgehen für eine Wandlungszeit TW = 0.5⋅TA.

Bild 2.14: Darstellung des realen Abtastprozesses

Wegen der Symmetrie der Fensterfunktion kann der Ausdruck unter Berücksichtigung der Faltungsoperation umgeformt werden zu

(2.24)

Der Faltung zweier Zeitsignale entspricht im Bildbereich die Multiplikation der Spektren.

(2.25)

Durch die Berechnung des Abtastwertes über das Integral in Gleichung (2.23) wird das Spektrum X(ω) mit dem Spektrum der Fensterfunktion

(2.26)

multipliziert. Das real abgetastete Signal xAW(t) kann mit diesen Überlegungen dargestellt werden als

(2.27)

Es besitzt das Spektrum

(2.28)

Wie bei der idealen Abtastung wird das Spektrum mit 1/TA skaliert und periodisch in ωA wiederholt. Allerdings wird das Spektrum des zeitkontinuierlichen Signals vor der periodischen Wiederholung mit dem Spektrum der Fensterfunktion multipliziert. Dieser Vorgang wird in Bild 2.15 für eine Wandlungszeit TW = TA und TW = 0.1⋅TA dargestellt. Die Auswirkung auf das Spektrum im Basisband steigt mit steigender Wandlungszeit. In Analog-Digital-Wandlern wird der Effekt durch den Einsatz inverser Filter kompensiert.

Bild 2.15: Darstellung des Spektrums eines realen Abtastprozesses für unterschiedliche Wandlungszeiten TW = TA und TW = 0.1⋅TA