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Reale Abtastung und Rekonstruktion

Reale Rekonstruktion eines Signals

Nach der Abtastung liegen einzelne Abtastwerte vor, die das Signal zu den entsprechenden Abtastzeiten charakterisieren. Für einige Anwendungen ist es notwendig, diese zeitdiskreten Signale wieder in zeitkontinuierliche Signale zu wandeln. Die bereits diskutierte ideale Rekonstruktion eines Signals ist wegen des ideal angenommenen Tiefpass-Filters nicht kausal und kann deshalb technisch nicht realisiert werden. Eine technisch realisierbare Rekonstruktion des ursprünglichen Signals aus den Abtastwerten wird in zwei Schritten realisiert:

  • Erzeugung eines stufenförmigen Ausgangssignals mit einem Halteglied
  • Tiefpass-Filterung

Die beiden Schritte werden im Zeit- und Frequenzbereich beschrieben. Zur Übersicht stellt Bild 2.16 den Signalfluss einer realen Signalrekonstruktion bei idealer Signalabtastung dar.

Bild 2.16: Signalfluss zur realen Rekonstruktion

Erzeugung eines stufenförmigen Ausgangssignals mit einem Halteglied

Die einzelnen Abtastwerte stellen das Signal zu den entsprechenden Abtastzeiten dar. Das Halteglied H hält den aktuell gültigen Wert des digitalen Systems am Ausgang fest, bis der nächste Abtastwert zur Verfügung steht. Dadurch steht zu jedem Zeitpunkt t ein Ausgangssignal zur Verfügung und das Signal ist wieder zeitkontinuierlich. Bild 2.17 zeigt an einem Beispiel das abgetastete Signal xA(t) und das Signal xH(t) nach dem Halteglied.

Bild 2.17: Rekonstruktion eines abgetasteten Signals mit Halteglied

Im Zeitbereich kann das kontinuierliche Signal nach dem Halteglied analog zur realen Wandlung mit Rechteckfunktionen beschrieben werden.

(2.29)

Das Signal nach dem Halteglied kann wieder als Faltung ausgedrückt werden.

(2.30)

Der Faltung der Signale im Zeitbereich entspricht die Multiplikation der Spektren im Frequenzbereich. Das Spektrum des Signals nach dem Halteglied ergibt sich damit aus dem Produkt des Spektrums XA(ω) und dem Frequenzgang des Halteglieds H(ω).

(2.31)

Bild 2.18 zeigt das Spektrum des abgetasteten Signals xA(t) und dem Signal xH(t) nach dem Halteglied.

Bild 2.18: Betrag des Spektrums vom abgetasteten Signal xA(t) und vom Signal xH(t) nach dem Halteglied

Durch das Halteglied wird das Spektrum im Bereich der Grenzfrequenz ωG gedämpft. Diese Dämpfung wirkt sich aber vor allem auf die periodische Fortsetzung des Spektrums aus.

Filterung des stufenförmigen Signals

Zur Vermeidung von Signalsprüngen im rekonstruierten Signal wird das Spektrum nach dem Halteglied mit einem geeigneten Filter gefiltert. Mit der Übertragungsfunktion des Filters ergibt sich der Frequenzgang des rekonstruierten Signals xR(t) zu

(2.32)

Idealerweise würde das Filter die Abweichungen im Basisband des Nutzsignals - ωN < ω < ωN kompensieren und die Frequenzanteile ober- und unterhalb des Basisbandes vollständig eliminieren. Bild 2.19 verdeutlicht diesen Ansatz.

Bild 2.19: Ideales Filter zur Rekonstruktion eines abgetasteten Signals

Dieses ideale Filter ist wegen der idealen Flankensteilheit nicht realisierbar. Reale Filter beschränken sich auf eine endliche Flankensteilheit. Eine Möglichkeit, die erforderliche Flankensteilheit zu senken, ist eine Steigerung der Abtastrate fA. Dieser Vorgang wird als Überabtastung oder Oversampling bezeichnet. Durch die höhere Abtastrate werden zwei Effekte erzielt:

  • Die Trennung der periodischen Spektren ist größer. Dadurch kann die Ordnung des Filters zur Signal-Rekonstruktion reduziert werden.

  • Mit höherer Abtastrate liegt der Nutzbereich des Signals immer mehr im flachen Bereich der Übertragungsfunktion des Halteglieds, sodass eine Kompensation des Frequenzgangs des Halteglieds nicht weiter notwendig ist.

Die zum Halteglied inverse Charakteristik im Durchlassbereich kann über ein digitales Filter erreicht werden, der als Teil der digitalen Signalverarbeitung realisiert wird.