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Signalabtastung und Rekonstruktion

Vorüberlegungen zur zeitlichen Diskretisierung

Die grundlegende Frage bei der zeitlichen Abtastung von Signalen ist, in welchen Zeitabständen TA beziehungsweise mit welcher Abtastfrequenz fA ein Signal erfasst werden muss. Die Bedeutung dieser Frage wird an einem Beispiel erläutert.

Beispiel: Abtastwerte

Bild 2.2 zeigt Abtastwerte eines Signals, das mit unterschiedlichen Abtastzeiten TA abgetastet wird. Die Abtastwerte sind jeweils über Geradenabschnitte miteinander verbunden. Das Signal scheint davon abzuhängen, wie es abgetastet wird.

Bild 2.2: Darstellung der Abtastwerte eines Signals, das mit unterschiedlichen Abtastzeiten TA abgetastet wird

Das zugrunde liegende Signal ist sinusförmig und wird mit der Funktion

(2.2)

beschrieben. Der Vergleich der Abtastwerte mit dem Signal u(t) in Bild 2.3 zeigt, dass alle in Bild 2.2 dargestellten abgetasteten Signale falsch oder zumindest irreführend sind.

Bild 2.3: Vergleich der Abtastwerte eines harmonischen Signals mit dem Originalsignal

Die Abtastwerte liegen auf einer Schwingung mit wesentlich höherer Frequenz und geben nicht das eigentliche Signal wieder. Daraus kann die Schlussfolgerung gezogen werden, dass beim Abtasten Regeln eingehalten werden müssen, um das Signal richtig rekonstruieren zu können. Diese Überlegung wird zu dem Abtasttheorem führen.

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Vor der allgemeinen Herleitung des Abtasttheorems werden die Abtastwerte eines harmonischen Signals x(t) mit einer Frequenz f0 analysiert. Das Signal ist definiert als

(2.3)

Das Signal wird mit einer Abtastzeit TA abgetastet, sodass sich an den ganzzahligen Vielfachen k der Abtastzeit t = k⋅TA die Werte ergeben zu

(2.4)

Die Abtastwerte der Signalfolge stimmen mit einer Signalfolge überein, die sich aus der Abtastung eines harmonischen Signals mit einer Frequenz f0 und dem Vielfachen der Abtastfrequenz n⋅fA ergibt. Einsetzen der Bedingungen ergibt

(2.5)

Der Faktor n⋅k ist dabei ein ganzzahliger Wert. Das bedeutet, dass die Abtastwerte, die ein Signal der Frequenz f0 repräsentieren, genau dieselben sind wie diejenigen, die sich beim Abtasten eines Signals der Frequenz f0 und einem Vielfachen der Abtastfrequenz fA ergeben. Nach der Abtastung kann also nicht zwischen Signalen der Frequenz f0 und f0 + n⋅fA unterschieden werden. Bild 2.4 stellt die Signal- und Abtastwerte für ein Beispiel dar.

Bild 2.4: Abtastwerte für ein harmonisches Signal mit der Frequenz f01 = 1 kHz und f02 = 11 kHz

Das Signal wird mit einer Frequenz fA = 10 kHz abgetastet. Die Abtastwerte sind für ein Signal mit einer Frequenz f1 = 1 kHz und einem Signal mit einer Frequenz f2 = 11 kHz identisch.

Der hier für harmonische Schwingungen dargestellte Sachverhalt gilt auch für nicht harmonische Signale, da sie sich mit der Fourier-Transformation auf harmonische Signale zurückführen lassen. Dieser Effekt macht es erforderlich, den Abtastvorgang mathematisch zu beschreiben und Bedingungen für den Abtastvorgang zu definieren, unter denen ein abgetastetes Signal rekonstruiert werden kann.