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Teil B - Zeitdiskrete Signale und Systeme

Strukturierung

Teil B beginnt mit der Aufgabenstellung, analoge Signale in zeitdiskrete Signale umzusetzen. Es wird sich zeigen, dass analoge Signale ohne Verfälschung diskretisiert werden können, wenn das sogenannte Abtasttheorem eingehalten wird. Kritischer ist eine technisch realisierbare Rekonstruktion der Abtastwerte zu einem zeitkontinuierlichen Signal.

Durch den Abtastprozess entstehen Zahlenfolgen. Diese Zahlen können ähnlich wie analoge Zeitfunktionen betrachtet werden. Der Umgang mit Zahlenfolgen wird dargestellt und an Beispielen geübt. Dabei wird das Rechnen mit Impuls- und Sprungfolgen eingeführt und vertieft. Besonderer Wert wird auf komplexe Exponentialfolgen gelegt, die für das Einschwingverhalten digitaler Systeme von besonderer Bedeutung sind.

Digitale Systeme lassen sich wegen ihrer diskreten Signale nicht über Differentialgleichungen beschreiben. Deshalb wird die Beschreibung zeitdiskreter Systeme über Differenzengleichungen eingeführt. An Beispielen wird erläutert, wie diese Differenzengleichungen aufgestellt werden können. Abschließend werden grundlegende Systemeigenschaften wie Linearität, Zeitinvarianz, Stabilität und Kausalität diskutiert. Für lineare, zeitinvariante Systeme wird die Systemantwort über die Faltungssumme berechnet.

Die Zweiteilung von Signalen und Systemen zieht sich weiter durch das Skript. Zur Lösung von Differenzengleichungen wird die z-Transformation eingeführt. Sie ist das Pendant zur Laplace-Transformation zeitkontinuierlicher Signale und Systeme. Nach der Diskussion der z-Transformation für Signale werden Differenzengleichungen mithilfe der z-Transformation gelöst, und es wird der Begriff der Übertragungsfunktion zeitdiskreter Systeme eingeführt. An der Übertragungsfunktion können wichtige Systemeigenschaften direkt abgelesen werden, ohne die Systemantwort ausrechnen zu müssen. Die Interpretation der Übertragungsfunktion wird beschrieben und an Beispielen angewendet.

Anschließend wird der Begriff des Spektrums einer Signalfolge erläutert, und es wird die Fourier-Transformation von Signalfolgen vorgestellt. Mit der Fourier-Transformation für Signalfolgen wird einer Signalfolge ein Spektrum zugeordnet. Zeitdiskrete Systeme weisen einen Frequenzgang auf, der ebenfalls über die Fourier-Transformation von Signalfolgen bestimmt werden kann. Durchlaufen zeitdiskrete Signale zeitdiskrete Systeme, wird ihr Spektrum mit dem Frequenzgang des Systems multipliziert.

In Produkten werden zeitkontinuierliche Systeme als Ersatz oder Ergänzung zu zeitdiskreten Systemen eingesetzt. Dabei wird sich eine zeitdiskrete Realisierung im Detail immer von einer zeitkontinuierlichen Realisierung unterscheiden. Es stellt sich die Frage, wie ein zeitkontinuierliches System vorteilhaft zeitdiskret approximiert werden kann.

Für eine gezielte Änderung des Spektrums können zeitdiskrete Filter entworfen werden. Dazu werden unterschiedliche Verfahren zum Filter-Design für Filter mit endlicher Impulsantwort (FIR-Filter) und für Filter mit unendlicher Impulsantwort (IIR-Filter) beschrieben und an Beispielen verdeutlicht. Für die Realisierung von Filtern Filter werden oftmals feste Strukturen verwendet, die vergleichbar zu standardisierten Operationsverstärkerschaltungen für analoge Filter sind.

Zur Bestimmung des Spektrums eines gemessenen Signals wird die Diskrete-Fourier-Transformation verwendet. Sie wird am Ende des Buches vorgestellt und angewendet. Durch eine Analyse des Signalflusses von der zeitkontinuierlichen Funktion bis zum Spektrum der Diskreten-Fourier Transformation werden Effekte wie Leakage, Zero-Padding und Fensterung erläutert.

Die Darstellungen in diesem Buch werden mit Beispielen illustriert. Beispiele werden gekennzeichnet durch einen grauen Balken. Durch einen Mausklick auf den Balken oder den Pfeil erscheint das zum Thema geh├Ârende Beispiel.

Beispiel:

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Wesentlicher Erfolgsfaktor für das Verständnis und den praktischen Umgang mit den Methoden der Systemtheorie ist das selbstständige Rechnen von Aufgaben. Aus diesem Grund sind in das vorliegende Buch Übungsaufgaben integriert, die eine Semester begleitende Vertiefung ermöglichen. Musterlösungen sind online verfügbar.