z-Transformation von Signalen
Die Laplace-Transformation wird zur Beschreibung zeitkontinuierlicher Signale verwendet. Sie eignet sich zur Lösung linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und wird zur Interpretation von linearen, zeitinvarianten Systemen mit Übertragungsfunktionen eingesetzt. Die Interpretation der Übertragungsfunktionen führt zu Aussagen wie Stabilität, Schwingungsneigung, Kausalität und Sprungfähigkeit von Systemen. Die z-Transformation ist für zeitdiskrete Anwendungen das Pendant zur Laplace-Transformation. Sie wird in diesem Kapitel eingeführt und ist eine wichtige Voraussetzung für die Beschreibung zeitdiskreter Systeme und den Entwurf zeitdiskreter Filter.
Nach der Definition werden einige Korrespondenzen über die Definitionsgleichung bestimmt, und es wird ein Zusammenhang zwischen der z-Transformation und der Laplace-Transformation hergestellt.
Die eher aufwendige Bestimmung von Korrespondenzen über die Definitionsgleichung kann vermieden werden, wenn die vorliegende Funktion mit Rechenregeln auf Funktionen mit bekannten Korrespondenzen zurückgeführt werden kann. Die dazu notwendigen Rechenregeln werden hergeleitet und der Nutzen an Beispielen aufgezeigt.
Die bei technischen Anwendungen entstehenden z-Transformierten sind typischerweise gebrochen rationale Funktionen. Die Rücktransformation vom z-Bereich in den Zeitbereich kann grundsätzlich über ein Umkehrintegral erfolgen. Da dieser Weg aufwendig ist und Kenntnisse in der Funktionentheorie voraussetzt, wird er in der Praxis umgangen. Stattdessen wird die z-Transformierte in Partialbrüche zerlegt, die mithilfe der angesprochenen Rechenregeln und einiger Korrespondenzen in den Zeitbereich transformiert werden können.
Die computerunterstützte Berechnung von z-Transformierten wird anhand des Programms MATLAB aufgezeigt. Nach der Zusammenstellung der für die analytische Berechnung wesentlichen Befehle werden einige Beispiele und Beweise mithilfe der Symbolic Math Toolbox berechnet.
