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Approximation des Systemverhaltens

Bei der Einführung der z-Transformation wird die zeitliche Verschiebung um TA mit der Variablen z beschrieben.

(9.28)

Dadurch wird einen Punkt der komplexen s-Ebene ein Punkt der komplexen z-Ebene zugeordnet. Um von der gebrochen rationalen Übertragungsfunktion G(s) zu einer Übertragungsfunktion G(z) zu kommen, müsste die Variable s substituiert werden durch

(9.29)

Damit wäre die Übertragungsfunktion G(z) aber keine rationale Funktion mehr. Die Realisierung des Systems mit einer Differenzengleichung wäre nicht möglich. Es muss demnach eine Abbildungsvorschrift gefunden werden, die eine gebrochen rationale Funktion in s in eine gebrochen rationale Funktion in z überführt. Ausgangspunkt für die Herleitung der Abbildungsvorschrift ist ein Integrator, der für kausale Signale zeitkontinuierlich mit der Gleichung

(9.30)

beschrieben wird. Im Laplace-Bereich besitzt er die Übertragungsfunktion

(9.31)

Zur Herleitung der Transformationsvorschrift vom Laplace-Bereich in den z-Bereich werden verschiedene zeitdiskrete Verfahren untersucht, mit denen der Integrator approximiert wird. Im Einzelnen sind das die Verfahren

·         Backward-Euler-Verfahren

·         Forward-Euler-Verfahren

·         Trapezregel oder bilineare Transformation

Bild 9.6 vergleicht die Grundidee der unterschiedlichen Verfahren.

Bild 9.6: Unterschiedliche Verfahren zur zeitdiskreten Approximation eines Integrators

Das Integral einer Funktion entspricht der Fläche unter der Kurve. Sind von der zu integrierenden Kurve nur die Stützstellen u(k⋅TA) = u[k] bekannt, kann die Fläche mit diesen Punkten nur approximiert werden.

Im Online-Portal Systemtheorie Online verdeutlicht die Applikation Transformation den Zusammenhang zwischen Punkten in der Laplace-Ebene und Punkten in der z-Ebene für unterschiedliche Transformationsverfahren.