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Approximation des Systemverhaltens

Backward-Euler-Verfahren

Das Backward-Euler-Verfahren verwendet zur Approximation des Integrals die Gleichung

(9.32)

Der aktuelle Wert des Ausgangsignals ergibt sich aus dem letzten Integrationswert y[k - 1] und der Approximation der Fläche in dem neuen Segment über ein Rechteck der Breite TA und der Höhe u[k]. Die Transformation der Gleichung in den z-Bereich führt zu der Übertragungsfunktion

(9.33)

Ein Vergleich mit der Übertragungsfunktion des Integrators im Laplace-Bereich nach Gleichung (9.31) führt zu der Transformation der Variable s des Laplace-Bereiches durch die Transformationsgleichung

(9.34)

Umgekehrt kann die Variable z des zeitdiskreten Systems ersetzt werden durch

(9.35)

Beispiel: Entwurf eines Tiefpasses erster Ordnung nach dem Backward-Euler-Verfahren

Für das in Abschnitt 9.2.1 Backward-Euler-Verfahren beschriebene PT1-Glied ergibt sich mit dieser Transformation die Übertragungsfunktion

(9.36)

Das System könnte mit der Differenzengleichung

(9.37)

implementiert werden. ♦

Der Zusammenhang zwischen Laplace- und z-Transformation wird in Kapitel 5.1.4 Zusammenhang zwischen z-Transformation und Laplace-Transformation diskutiert. Der dort herausgearbeitete Zusammenhang

(9.38)

wird im Folgenden mit Zusammenhang

(9.39)

verglichen, der sich aus dem Backward-Euler-Verfahren ergibt. Durch Einsetzen der Bedingung s = j⋅ω kann die Abbildung der imaginären Achse der s-Ebene auf die z-Ebene bestimmt werden.

(9.40)

Bild 9.7 stellt die Abbildung der imaginären Achse der s-Ebene auf die z-Ebene bei Verwendung des Backward-Euler-Verfahrens dar.

Bild 9.7: Abbildung der imaginären Achse der s-Ebene auf die z-Ebene mit dem Backward-Euler-Verfahren

Nach der Definitionsgleichung der z-Transformation wird die imaginäre Achse der Laplace-Ebene auf den Einheitskreis der z-Ebene abgebildet. Mit dem Backward-Euler-Verfahren wird die imaginäre Achse der Laplace-Ebene im Gegensatz dazu auf einen Kreisausschnitt in der positiven Halbebene abgebildet. Die negative s-Halbebene liegt in beiden Fällen innerhalb des jeweiligen Kreises. Die beiden Transformationen führen damit zu unterschiedlichen Abbildungen der Variable s = j⋅ω in die z-Ebene. Bei dem Backward-Euler-Verfahren wird ein stabiles zeitkontinuierliches System G(s) in ein stabiles zeitdiskretes System G(z) abgebildet. Dies gilt allerdings nicht für die Rücktransformation. Ein stabiles zeitdiskretes System wird nicht unbedingt in ein zeitkontinuierliches stabiles abgebildet.