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Approximation des Systemverhaltens

Bilineare Transformation mit Prewarping

Die in Abschnitt 9.2.3 Trapezregel und bilineare Transformation beschriebene bilineare Transformation kann so modifiziert werden, dass sie die Frequenzverschiebung an einer Frequenz ω0 kompensiert. Sie ergibt sich aus der Substitution

(9.73)

Dabei ist V ein noch zu bestimmender Parameter. Die Frequenzverzerrung ergibt sich nach einer Transformation in den Frequenzbereich mit s = j⋅w und z = ejΩp zu

(9.74)

Damit der Frequenzgang der zeitkontinuierlichen und zeitdiskreten Implementierung an der Frequenz ω0 übereinstimmen, muss damit die Bedingung

(9.75)

beziehungsweise

(9.76)

erfüllt werden. Es ergibt sich die bilineare Transformation mit Prewarping:

(9.77)

Auch die bilineare Transformation mit Prewarping bildet die imaginäre Achse der s-Ebene auf den Einheitskreis der z-Ebene ab, die linke s-Halbebene wird in das Innere des Einheitskreises der z-Ebene abgebildet. Damit bleibt ein stabiles System bei der bilinearen Transformation mit Prewarping ein stabiles System.

Gleichung (9.74) wird dazu verwendet, den Zusammenhang zwischen der Kreisfrequenz ω des zeitkontinuierlichen Systems und der normierten Kreisfrequenz ΩP des zeitdiskreten Systems mit Prewarping zu bestimmen.

(9.78)

Auflösen nach der normierten Kreisfrequenz ΩP führt zu

(9.79)

An der Frequenz ω = ω0 vereinfacht sich der Ausdruck zu

(9.80)

und die beiden normierten Kreisfrequenzen ΩP0 und Ω0 sind identisch. In Bild 9.11 wird die Verzerrung der Frequenzachse bei der bilinearen Transformation mit Prewarping für Ω0 = π/2 grafisch dargestellt.

Bild 9.11: Verzerrung der Frequenzachse durch die bilineare Transformation mit Prewarping für Ω0 = π/2

Die nichtlineare Frequenzverzerrung wird mit Prewarping nicht generell aufgehoben, aber an der Stelle ω0 kompensiert.

Beispiel: Entwurf eines Tiefpasses erster Ordnung mit der bilinearen Transformation und Prewarping

Für das in Abschnitt 9.2.1 Backward-Euler-Verfahren beschriebene PT1-Glied ergibt sich mit der bilinearen Transformation mit Prewarping die Übertragungsfunktion

(9.81)

Das System könnte mit der Differenzengleichung

(9.82)

implementiert werden. Der Faktor V wird so gewählt, dass die 3-dB-Grenzfrequenzen des zeitkontinuierlichen und des zeitdiskreten Filters identisch sind. Mit ωG = 1/2 rad/s und TA = 1 s ergibt sich für V der Wert

(9.83)

Damit lautet die Übertragungsfunktion für das mit Prewarping entworfene zeitdiskrete Filter

(9.84)

Das Ergebnis kann mit der Berechnung der Amplitudengänge verifiziert werden.

Bild 9.12: Amplitudengang des zeitkontinuierlichen Tiefpasses und der über bilineare Transformation ohne und mit Prewarping entworfenen Systeme

An der Grenzfrequenz ωG = 1/2 rad/s stimmen der Amplitudengang des zeitkontinuierlichen Systems und des über Prewarping entworfene Systems exakt überein. Im Gegensatz dazu weist das über bilineare Transformation ohne Prewarping entworfene System eine Frequenzverschiebung auf.

Damit ergibt sich ein Verfahren zum Entwurf eines zeitdiskreten Systems mit der bilinearen Transformation und Prewarping, das in Tabelle 9.5 zusammengefasst ist.

 

Tabelle 9.5: Vorgehen zum Entwurf rekursiver Filter mit der bilinearen Transformation und Prewarping

Schritt Beschreibung
1 Entwurf eines zeitkontinuierlichen Filters G(s)
2 Bestimmung der Konstanten V über die Frequenz w 0 , bei der das zeitkontinuierliche und zeitdiskrete System denselben Frequenzgangswert aufweisen sollen
3 Transformation des zeitkontinuierlichen Filters G(s) in ein zeitdiskretes Filter mit der bilinearen Transformation, Durchführung der Substitution
3 Aufstellen der Differenzengleichung durch Rücktransformation der Gleichung G(z) in den Zeitbereich
4 Auflösen der Differenzengleichung nach y[k]

 

Die bilineare Transformation mit Prewarping ist das zweite Verfahren, das in der Regelungstechnik für die zeitdiskrete Nachbildung analoger Systeme verwendet wird. Da die Genauigkeit der Transformation in regelungstechnischen Anwendungen an der Durchtrittsfrequenz wichtig ist, wird ein Prewarping mit dieser Frequenz durchgeführt. Auch bei der Berechnung zeitdiskreter Filter wird die bilineare Transformation mit Prewarping eingesetzt. Dabei wird das Prewarping mit der spezifizierten Grenzfrequenz durchgeführt.

Der Vorteil der bilinearen Transformation liegt in der einfachen Berechnung über die Substitution

(9.85)

Der Nachteil ergibt sich aus der vergleichsweise groben Approximation des Integrals mit einer Trapezregel.