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Approximation des Systemverhaltens

Forward-Euler-Verfahren

Das Forward-Euler-Verfahren verwendet zur Approximation des Integrals die Gleichung

(9.41)

Der aktuelle Wert des Ausgangsignals ergibt sich bei dem Forward-Euler-Verfahren aus dem letzten Integrationswert y[k - 1] und der Approximation der Fläche in dem neuen Segment über ein Rechteck der Breite TA und der Höhe u[k - 1]. Die Transformation der Gleichung in den z-Bereich führt zu der Übertragungsfunktion

(9.42)

Wieder wird die Übertragungsfunktion G(z) mit der des Integrators im Laplace-Bereich (Gleichung (9.31)) verglichen. Die Variable s des Laplace-Bereiches entspricht

(9.43)

beziehungsweise

(9.44)

Beispiel: Entwurf eines Tiefpasses erster Ordnung nach dem Forward-Euler-Verfahren

Für das in Abschnitt 9.2.1 Backward-Euler-Verfahren beschriebene PT1-Glied ergibt sich mit dieser Transformation die Übertragungsfunktion

(9.45)

Das System könnte mit der Differenzengleichung

(9.46)

implementiert werden.

Auch für das Forward-Euler-Verfahren wird die Abbildung der imaginären Achse der s-Ebene auf die z-Ebene untersucht.

(9.47)

Bild 9.8 stellt die Abbildung der imaginären Achse der s Ebene auf die z-Ebene bei Verwendung des Forward-Euler-Verfahrens dar.

 

Bild 9.8: Abbildung der imaginären Achse der s-Ebene auf die z-Ebene mit dem Forward-Euler-Verfahren

Nach der Definitionsgleichung der z-Transformation wird die imaginäre Achse der Laplace-Ebene auf den Einheitskreis der z-Ebene abgebildet. Mit dem Forward-Euler-Verfahren wird die imaginäre Achse der Laplace-Ebene im Gegensatz dazu auf die Gerade 1 + j⋅Ω abgebildet. Die negative s-Halbebene wird in den Bereich Re(z) < 1 abgebildet. Bei dem Forward-Euler-Verfahren kann ein stabiles zeitkontinuierliches System G(s) in ein instabiles zeitdiskretes System G(z) abgebildet werden. Aus diesem Grund wird dieses Verfahren im Folgenden nicht weiter verfolgt.