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Approximation des Systemverhaltens

Trapezregel und bilineare Transformation

Bei der Trapezregel wird eine abschnittsweise lineare Funktion zur Approximation der Fläche unter der Kurve x(t) verwendet.

(9.48)

Der aktuelle Wert des Ausgangsignals ergibt sich bei der Trapezregel aus dem letzten Integrationswert y[k - 1], über ein Trapez der Breite TA und den beiden Punkten u[k - 1] und u[k]. Die Transformation der Gleichung in den z-Bereich führt zu der Übertragungsfunktion

(9.49)

Wieder wird die Übertragungsfunktion G(z) mit der des Integrators im Laplace-Bereich (Gleichung (9.31)) verglichen. Die Variable s des Laplace-Bereiches entspricht

(9.50)

beziehungsweise

(9.51)

Es ergibt sich ein Verfahren zum Entwurf eines zeitdiskreten Systems mit der bilinearen Transformation, das in Tabelle 9.4 zusammengefasst ist.

 

Tabelle 9.4: Vorgehen zum Entwurf zeitdiskreter Systeme mit der bilinearen Transformation ohne Prewarping

Schritt Beschreibung
1 Entwurf eines analogen Systems mit der Übertragungsfunktion G(s)
2 Transformation des zeitkontinuierlichen Systems G(s) in ein zeitdiskretes System mit der bilinearen Transformation, Durchführung der Substitution
3 Aufstellen der Differenzengleichung durch Rücktransformation der Gleichung G(z) in den Zeitbereich
4 Auflösen der Differenzengleichung nach y[k]

 

Beispiel: Entwurf eines Tiefpasses erster Ordnung mit der bilinearen Transformation

Für das in Abschnitt 9.2.1 Backward-Euler-Verfahren beschriebene PT1-Glied ergibt sich mit der bilinearen Transformation die Übertragungsfunktion

(9.52)

Das System könnte mit der Differenzengleichung

(9.53)

implementiert werden.

Durch Einsetzen der Bedingung s = j⋅ω wird wieder die Abbildung der imaginären Achse der s-Ebene auf die z-Ebene untersucht.

(9.54)

Bild 9.9 stellt die Abbildung der imaginären Achse der s-Ebene auf die z-Ebene bei Approximation der Variable z über eine algebraische Gleichung in s dar.

Bild 9.9: Abbildung der imaginären Achse der s-Ebene auf die z-Ebene bei Approximation der Variable z über eine algebraische Gleichung in s

Die bilineare Transformation bildet die imaginäre Achse der s-Ebene auf den Einheitskreis der z-Ebene ab, die linke s-Halbebene wird in das Innere des Einheitskreises der z-Ebene abgebildet. Damit bleibt ein stabiles System bei der bilinearen Transformation ein stabiles System. Ein Vergleich mit dem bei der Herleitung gebrauchten Ausdruck

(9.55)

führt zu dem Zusammenhang zwischen der Kreisfrequenz ω des zeitkontinuierlichen Systems und der normierten Kreisfrequenz ΩB des zeitdiskreten Systems, das sich aus der bilinearen Transformation ergibt.

(9.56)

beziehungsweise

(9.57)

oder

(9.58)

Die Frequenz wird durch die bilineare Transformation nicht linear, sondern verzerrt abgebildet. In Bild 9.10 wird diese Verzerrung der Frequenzachse grafisch dargestellt.

 

Bild 9.10: Visualisierung der Verzerrung der Frequenzachse durch die bilineare Transformation

Die Visualisierung der Verzerrung ist im Bereich kleiner Frequenzen gering und steigt mit steigender Frequenz an. Sie ist mathematisch eindeutig und kann beim Systementwurf berücksichtigt werden. Dazu erfolgt der Systementwurf mit einer Spezifikation, die die bei der Diskretisierung stattfindende Frequenzverschiebung berücksichtigt. Das Verfahren wird in Abschnitt 9.2.4 beschrieben.

Beispiel: Zeitdiskrete Beschreibung des Aufheizverhaltens eines Transistors

Das Aufheizverhalten eines Transistors kann über die Differentialgleichung

(9.59)

beschrieben werden. Dabei bezeichnet T die Temperaturdifferenz zur Umgebungstemperatur gemessen in K, CTH ist die thermische Wärmekapazität, RTH der thermische Widerstand und pEL die elektrische Leistung in W, die den Transistor aufheizt. In der Anordnung beträgt die thermische Kapazität CTH = 0.2 Ws/K und der thermische Widerstand RTH = 5 K/W.

Das Aufheizverhalten soll in Abhängigkeit der elektrischen Leistung pEL(t) zeitdiskret simuliert werden. Zum Zeitpunkt t = 0 hat das System die Temperatur der Umgebung T(0) = 0. Für den Zeitraum t < 0 ist die elektrische Leistung pEL(t) = 0, für t > 0 ist die elektrische Leistung zunächst eine beliebige Funktion der Zeit.

Transformation der Differentialgleichung in den Laplace-Bereich führt unter Berücksichtigung der Differentiationsregel und wegen der verschwindenden Anfangsbedingungen zu

(9.60)

Aus der Gleichung im Laplace-Bereich ergibt sich die Übertragungsfunktion

(9.61)

Mit der bilinearen Transformation ergibt sich aus der Übertragungsfunktion im Laplace-Bereich die Übertragungsfunktion im z-Bereich zu

(9.62)

Nach dem Ausmultiplizieren

(9.63)

kann das System als Differenzengleichung dargestellt werden

(9.64)

Auflösen nach T[k] ergibt

(9.65)

Auf Basis der - 20 dB-Grenzfrequenz des analogen Systems wird die Abtastzeit TA bestimmt. Das zeitkontinuierliche System hat einen einfachen reellen Pol in der negativen Halbebene, es ist demnach stabil. Deshalb ergibt sich der Frequenzgang zu

(9.66)

Um die - 20 dB Grenzfrequenz ausrechnen zu können, wird zunächst der Amplitudengang an der Stelle ω = 0 bestimmt.

(9.67)

Daraus ergibt sich die Grenzfrequenz aus der Bedingung

(9.68)

Daraus ergibt sich die Bedingung

(9.69)

Die Grenzfrequenz muss positiv sein, damit ergibt sich mit den Zahlenwerten aus der Aufgabenstellung

(9.70)

Mit der berechneten Grenzfrequenz ergibt sich für die Abtastfrequenz

(9.71)

und damit für die Abtastzeit

(9.72)

Zur Berechnung des Ausgangssignals T(k) muss das Eingangssignal diskretisiert und die Differenzengleichung unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung rekursiv berechnet werden.

 

Es ergibt sich folgendes Einschwingverhalten.

In der Grafik ist zum Vergleich das Signal dargestellt, dass sich bei einer 10-mal kleineren Abtastzeit ergibt. Beide Ergebnisse stimmen gut überein.