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Nachbildung von Impuls- oder Sprungantwort

Impulsinvarianter Entwurf zeitdiskreter Systeme

Eine Möglichkeit der zeitdiskreten Implementierung zeitkontinuierlicher Systeme ergibt sich aus der Abtastung der Impulsantwort g(t). Technisch realisierbare zeitkontinuierliche Systeme sind kausal und stabil. Im Folgenden wird zur Vereinfachung angenommen, dass sie einfache reelle Pole und konjugiert komplexe Polpaare besitzen. Da mit diesen Voraussetzungen der Zählergrad der Übertragungsfunktion bei realisierbaren Systemen kleiner oder gleich dem Nennergrad ist, lässt sich die Übertragungsfunktion als Summe einzelner Partialbrüche darstellen.

(9.1)

Diese Darstellung führt zu der zeitkontinuierlichen Impulsantwort

(9.2)

Die zeitkontinuierliche und die zeitdiskrete Impulsantwort soll an den Stellen t = k⋅TA dieselben Werte aufweisen. Damit ergibt sich die Impulsantwort des zeitdiskreten Systems zu

(9.3)

Die z-Transformierte G(z) der Impulsantwort g[k] berechnet sich über die Definitionsgleichung der z-Transformation zu

(9.4)

Vertauschen der Summationsreihenfolge und Anwendung der Summenformel für die geometrische Reihe führt zu

(9.5)

Diese Übertragungsfunktion hat einen Konvergenzbereich von

(9.6)

Da die Polstellen αn zu einem stabilen zeitkontinuierlichen System gehören, liegen sie in der negativen Halbebene. Damit liegen die Pole der Übertragungsfunktion G(z) innerhalb des Einheitskreises. Beim impulsinvarianten Entwurf bleiben stabile Systeme demnach stabil.

Im Online-Portal Systemtheorie Online verdeutlicht die Applikation Transformation den Zusammenhang zwischen Punkten in der Laplace-Ebene und Punkten in der z-Ebene für unterschiedliche Transformationsverfahren.

Beispiel: Impulsinvarianter Entwurf eines Tiefpasses erster Ordnung

Um das Verfahren zu verdeutlichen, wird es an einem Tiefpass erster Ordnung angewendet. Das Übertragungsglied besitzt die Übertragungsfunktion

(9.7)

und die zeitkontinuierliche Impulsantwort

(9.8)

Mit dem Pol α = - ωG ergibt sich die Übertragungsfunktion des zeitdiskreten Systems von

(9.9)

und das System kann mit der Differenzengleichung

(9.10)

realisiert werden. Bild 9.1 vergleicht das zeitkontinuierliche und das zeitdiskrete System im Zeitbereich für T = 5 und TA = 1.

Bild 9.1: Vergleich des zeitkontinuierlichen und des zeitdiskreten Systems im Zeitbereich bei impulsinvariantem Entwurf für T = 5 und TA = 1

Die beiden Impulsantworten g(t) und g[k] stimmen erwartungsgemäß an den Stellen t = k⋅TA überein. Bild 9.2 vergleicht die beiden Systeme im Frequenzbereich.

Bild 9.2: Vergleich des zeitkontinuierlichen und des zeitdiskreten Systems im Frequenzbereich bei impulsinvariantem Entwurf für T = 5 und TA = 1

Die beiden Amplitudengänge stimmen im Bereich kleiner Frequenzen sehr gut überein. Die Abweichungen im Frequenzbereich π/2 < Ω < π sind auf die periodische Wiederholung des Spektrums zurückzuführen. Da der Amplitudengang an der Stelle Ω = π noch nicht vollständig verschwindet, wird die periodische Fortsetzung in das Basisband gefaltet. Dieser Effekt sinkt mit steigender Zeitkonstante T des Systems, da damit die eigentlich erforderliche Bandbegrenzung des Systems besser realisiert wird. Alternativ kann die Abtastzeit reduziert werden.

Die beiden Phasengänge stimmen nur im Bereich sehr kleiner Frequenzen überein. Eigentliche Ursache für die hohen Abweichungen im Phasengang sind die durch den Abtastvorgang entstehenden zusätzlichen Nullstellen in der Übertragungsfunktion. Bild 9.3 vergleicht die Pol-Nullstellen-Diagramme des zeitkontinuierlichen und des zeitdiskreten Systems.

 

Bild 9.3: Vergleich der Pol-Nullstellen-Diagramme

Beide Systeme weisen einen einfachen reellen Pol auf. Die zusätzliche Nullstelle im zeitdiskreten System führt bei normierte Frequenzen Ω = ± π zu einer Phase φ = 0.

Das Vorgehen zum impulsinvarianten Entwurf zeitdiskreter Systeme ist in Tabelle 9.1 zusammengefasst.

Tabelle 9.1: Vorgehen zum impulsinvarianten Entwurf zeitdiskreter Systeme bei einfachen Polen αn

Schritt Beschreibung
1 Entwurf eines zeitkontinuierlichen Systems G(s)
2 Darstellung des Systems als Summe von Partialbrüchen
3 Zeitdiskretes System besitzt die Übertragungsfunktion G(z)
4 Aufstellen der Differenzengleichung durch Rücktransformation der Gleichung G(z) in den Zeitbereich
5 Auflösen der Differenzengleichung nach y[k]

 

Die Transformation der Laplace-Transformierten in den Zeitbereich, die Abtastung der Zeitfunktion und die anschließende Transformation in den z-Bereich wird auch als zusammengesetzte z-Transformation bezeichnet. Sie wir symbolisch dargestellt als

(9.11)

Der impulsinvariante Entwurf wird in der Regelungstechnik für die zeitdiskrete Nachbildung analoger Systeme verwendet. Liegt zum Beispiel ein analoger Reglerentwurf vor, kann der zeitkontinuierliche Regler in einen zeitdiskreten Regler überführt werden. Zeitdiskrete Filter lassen sich entwickeln, in dem ein zeitkontinuierliches Filter mithilfe des impulsinvarianten Entwurfs in ein zeitdiskretes Filter überführt wird.